共通例題①：$\star$ 指数関数からスペクトルを読む

量子力学の様々な構成方法　第10部 第6章 §10.6.3　★★★ Hilbert 空間を作らずに、時間発展の $\star$ 指数関数を Moyal 積で解き、その Fourier 展開の周波数としてスペクトル $\hbar\omega(n+\frac12)$ を、係数として $2\pi\hbar W_n$ を得る

スペクトルを関数の言葉で定義する

変形量子化には Hilbert 空間が無いので、「演算子の固有値」をそのままでは定義することができない。Bayen らは、時間発展の演算子 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ の記号にあたる$\star$ 指数関数

$$\mathrm{Exp}_\star\Bigl(-\frac{\mathrm{i} tH}{\hbar}\Bigr)=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\Bigl(-\frac{\mathrm{i} t}{\hbar}\Bigr)^kH^{\star k}\tag{10.6.10}$$

（$H^{\star k}$ は $H$ の $k$ 個の $\star$ 積）を作り、それを時間について Fourier 展開したときに現れる周波数をスペクトルと定義した（Bayen らの論文の第 II 部）。$\mathrm{Exp}_\star$ は微分方程式

$$\mathrm{i}\hbar\,\partial_t\mathcal E=H\star\mathcal E,\qquad\mathcal E(0)=1\tag{10.6.11}$$

の解である。第5部第3章で解いた Bloch 方程式 $\partial_\beta\Omega=-H\star\Omega$ は、この式で $t=-\mathrm{i}\hbar\beta$ と置いたものにあたる。ここでは実時間のまま解き、展開の形を見る。

調和振動子の $\star$ 指数関数

$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega^2q^2}{2}=\hbar\omega\lvert z\rvert ^2$ とし、$u=\lvert z\rvert ^2=H/(\hbar\omega)$ の関数 $F(u)$ に $H$ を $\star$ 積で掛ける。式 (10.6.5) の指数を展開すると、1次の項は $\frac12[\partial_{\bar z}(z\bar z)\,\partial_zF-\partial_z(z\bar z)\,\partial_{\bar z}F]=\frac12[z\cdot\bar zF'-\bar z\cdot zF']=0$ で消える。2次の項は$\frac{1}{2!}\cdot\frac14\bigl[\partial_{\bar z}^2(z\bar z)\partial_z^2F-2\,\partial_z\partial_{\bar z}(z\bar z)\,\partial_z\partial_{\bar z}F+\partial_z^2(z\bar z)\partial_{\bar z}^2F\bigr]=-\frac14\partial_z\partial_{\bar z}F$ で、$\partial_z\partial_{\bar z}F(u)=\partial_z(zF')=F'+uF''$ を使うと

$$H\star F=\hbar\omega\Bigl[uF-\frac14\bigl(F'+uF''\bigr)\Bigr]\tag{10.6.12}$$

となる。$z\bar z$ は2次なので3次以上の項は無い。同じ計算で $F\star H$ も同じ式になり、$H$ は $u$ の関数と $\star$ 可換である。

式 (10.6.11) の解を $\mathcal E=A(t)\mathrm{e}^{b(t)u}$ と置く。$F'=bF$、$F''=b^2F$ なので式 (10.6.12) は $\hbar\omega[u(1-\frac{b^2}{4})-\frac b4]\mathcal E$ で、左辺は $\mathrm{i}\hbar(\dot A/A+\dot b\,u)\mathcal E$ である。$u$ の係数と定数項を比べて

$$\mathrm{i}\dot b=\omega\Bigl(1-\frac{b^2}{4}\Bigr),\qquad \mathrm{i}\frac{\dot A}{A}=-\frac{\omega b}{4},\qquad b(0)=0,\ A(0)=1.$$

第1式は $b=-2\mathrm{i}\tan(\omega t/2)$ で解ける（$\mathrm{i}\dot b=\omega\sec^2(\omega t/2)$、$1-b^2/4=1+\tan^2(\omega t/2)$）。第2式は $\dot A/A=\frac{\omega}{2}\tan(\omega t/2)$ で $A=\sec(\omega t/2)$。よって

$$\mathrm{Exp}_\star\Bigl(-\frac{\mathrm{i} tH}{\hbar}\Bigr)=\frac{1}{\cos(\omega t/2)}\exp\Bigl[-\frac{2\mathrm{i} H}{\hbar\omega}\tan\frac{\omega t}{2}\Bigr]\tag{10.6.13}$$

である（$\lvert \omega t\rvert <\pi$）。$t=-\mathrm{i}\hbar\beta$ と置くと $\mathrm{sech}(\beta\hbar\omega/2)\exp[-\frac{2H}{\hbar\omega}\tanh(\beta\hbar\omega/2)]$ となり、第5部第3章の Bloch 方程式の解と一致する。

Fourier 展開とスペクトル

$s=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ と置くと $\sec(\omega t/2)=2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t/2}/(1+s)$、$-2\mathrm{i}\tan(\omega t/2)=-2(1-s)/(1+s)$ で、$\frac{1-s}{1+s}=1-\frac{2s}{1+s}$ を使うと

$$\mathcal E=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t/2}\,\frac{2\mathrm{e}^{-2u}}{1+s}\exp\Bigl(\frac{4u\,s}{1+s}\Bigr).$$

Laguerre 多項式の母関数 $\sum_nL_n(x)r^n=\frac{1}{1-r}\exp(-\frac{xr}{1-r})$ で $r=-s$、$x=4u$ と置くと（第5部第5章で熱平衡の $W$ を足し上げたのと同じ母関数。第5部第5章）、

$$\mathrm{Exp}_\star\Bigl(-\frac{\mathrm{i} tH}{\hbar}\Bigr)=\sum_{n=0}^\infty\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_nt/\hbar}\,\pi_n,\qquad E_n=\hbar\omega\Bigl(n+\frac12\Bigr),\qquad \pi_n=2(-1)^n\mathrm{e}^{-2H/(\hbar\omega)}L_n\Bigl(\frac{4H}{\hbar\omega}\Bigr)\tag{10.6.14}$$

を得る。周波数 $E_n/\hbar$ の集合がスペクトルで、共通例題①の正答 $E_n=\hbar\omega(n+\frac12)$ と一致する。係数 $\pi_n$ は補足の表の $W_n$ を使うと $\pi_n=2\pi\hbar W_n$ である。

証明

$\mathcal E(t_1)\star\mathcal E(t_2)$ と $\mathcal E(t_1+t_2)$ はどちらも $t_2$ について式 (10.6.11) を満たし（結合律から $\mathrm{i}\hbar\partial_{t_2}(\mathcal E(t_1)\star\mathcal E(t_2))=\mathcal E(t_1)\star H\star\mathcal E(t_2)$ で、$H$ と $u$ の関数が $\star$ 可換なので $H\star\mathcal E(t_1)\star\mathcal E(t_2)$）、$t_2=0$ で等しいので一致する。展開を入れると$\sum_{n,k}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(E_nt_1+E_kt_2)/\hbar}\pi_n\star\pi_k=\sum_n\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_n(t_1+t_2)/\hbar}\pi_n$ で、$t_1$、$t_2$ の指数関数の係数を比べて $\pi_n\star\pi_k=\delta_{nk}\pi_n$。$t=0$ で $\sum_n\pi_n=\mathcal E(0)=1$。$H\star\pi_n=E_n\pi_n$ は、式 (10.6.11) に展開を入れて $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_nt/\hbar}$ の係数を比べれば出る。

$\pi_n\star\pi_n=\pi_n$ は $W_n\star W_n=W_n/(2\pi\hbar)$（第5部第3章の純粋状態の条件）と同じ式で、$H\star\pi_n=E_n\pi_n$ は第5部第5章の $\star$ 固有値方程式である。第5部第5章では $\star$ 固有値方程式を Laguerre の微分方程式に直して $E_n$ と $W_n$ を出した。この節では時間発展だけを解き、スペクトルと $W_n$ を Fourier 展開の周波数と係数として同時に読み取った。どちらの道も Hilbert 空間を一度も使っていない。