$\star$ 固有値方程式から $W_n$ とスペクトルを導く

量子力学の様々な構成方法　第5部 第5章 §5.5.1　★★★ $H\star W=EW$ の虚部から $W$ は $H$ だけの関数、実部から Laguerre の微分方程式。積分できる解は $E=\hbar\omega(n+\frac12)$ のときだけで、そのとき $W_n=\frac{(-1)^n}{\pi\hbar}\mathrm{e}^{-u}L_n(2u)$

第5部はここまでに、位相空間の構成の部品をそろえてきた。第5部第1章で Wigner 関数 $W$ を定義し、第5部第2章で $W$ と密度行列が1対1に対応することを、第5部第3章で演算子の積が $\star$ 積に、von Neumann 方程式が Moyal 方程式に写ることを示した。第5部第4章は $W$ の負の値の意味を調べた。そのあいだ、共通例題①の $W_n$ と熱平衡の $W$ の式は、正答表の形を借りて使ってきた。

この章は部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち「共通例題」を受け持ち、借りてきた2つの式をここで導く。出発点に置くのは前の章までの3つの道具、すなわち $\star$ 固有値方程式 $H\star W=EW$、純粋状態の条件 $W\star W=W/(2\pi\hbar)$、期待値の公式 $\langle \hat A \rangle =\int WA_W\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p$ だけで、Schrödinger 方程式も生成消滅演算子も使わない。この道具だけで調和振動子のスペクトル $E_n=\hbar\omega(n+\frac12)$ と $W_n$ が出ること（5.5.1節）、その $W_n$ を Boltzmann の重みで足すと熱平衡の $W$ が出ること（5.5.2節）を示す。熱平衡の $W$ は第5部第3章が Bloch 方程式を記号の上で解いてすでに求めている。そこではスペクトルを一度も使わず、$\beta$ についての微分方程式を解いた。この章はスペクトルと固有状態の $W_n$ を先に作り、その重み和として同じ関数を組み立てる。解き方が違う2つの道が同じ答えに着くことは、5.5.6節で式を並べて確かめる。

共通例題②（2準位系）は、連続の位相空間を持たないので、$2\times2$ 点の離散の位相空間に Wootters の Wigner 関数を置いて短く解く（5.5.3節）。共通例題③（自由粒子）は 第5部第2章が $W$ の剪断として解いたので、ここでは繰り返さない。後半の2節は半古典近似で、$W_n$ が古典のトーラス $H=E_n$ の近くで Airy 関数の形になり、そこから Bohr–Sommerfeld の量子化条件が読めること（5.5.4節）と、Moyal 方程式の $\hbar^2$ の項を摂動として扱うと古典の時間発展への補正がどう書けるか、どこで書けなくなるか（5.5.5節）を扱う。前の章までと同じく1次元・1粒子に話を限る。調和振動子では $H=p^2/(2m)+m\omega^2x^2/2$、無次元の量 $u=2H/(\hbar\omega)$ を使い（第5部第4章と同じ）、$u$ だけの関数の積分では $\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=\pi\hbar\,\mathrm{d} u$ である。

実部と虚部に分ける

固有状態 $\hat H| \psi \rangle =E| \psi \rangle$ の密度行列 $\hat\rho=| \psi \rangle \langle \psi |$ は $\hat H\hat\rho=E\hat\rho$ を満たし、第5部第3章の定理（積の記号は $\star$ 積）で記号に写すと $H\star W=EW$ である。$H$ が2次なので $\star$ 積の級数は $\hbar^2$ の項で厳密に止まり、同じ章で示したとおり

$$H\star W=\Bigl[H-\frac{\hbar^2}{8}\Bigl(\frac1m\partial_x^2+m\omega^2\partial_p^2\Bigr)\Bigr]W+\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}\{H,W\}\tag{5.5.1}$$

と書ける。$W$ は実数なので（第5部第1章の (W1)）、$H\star W=EW$ は実部と虚部の2つの条件に分かれる。

虚部の条件は $\{H,W\}=0$ である。Poisson 括弧が 0 ということは、$W$ が Hamilton の流れに沿って一定だということで、調和振動子の流れは楕円 $H=\text{一定}$ を1周する。1つの楕円の上で一定な関数は $H$ だけの関数なので、$W=f(H)$、無次元にして $W=f(u)$ と置ける。

実部の条件は $f$ についての常微分方程式になる。$f(H)$ を微分すると$\partial_p^2f=f''\,p^2/m^2+f'/m$、$\partial_x^2f=f''\,(m\omega^2x)^2+f'\,m\omega^2$ なので

$$\frac1m\partial_x^2f+m\omega^2\partial_p^2f=\omega^2\Bigl[f''\Bigl(m\omega^2x^2+\frac{p^2}{m}\Bigr)+2f'\Bigr]=2\omega^2\bigl(Hf''+f'\bigr)$$

である（$'$ は $H$ についての微分）。$H=\hbar\omega u/2$、$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} H}=\frac{2}{\hbar\omega}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} u}$ で $u$ に直すと $\frac{\hbar^2}{8}\cdot2\omega^2(Hf''+f')=\frac{\hbar\omega}{2}(uf_{uu}+f_u)$ となり、$E=\varepsilon \hbar\omega$ と書いて全体を $-\hbar\omega/2$ で割ると

$$u\,\frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d} u^2}+\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} u}+(2\varepsilon -u)f=0\tag{5.5.2}$$

を得る。偏微分方程式だった $\star$ 固有値方程式が、$H$ の対称性（虚部の条件）によって1変数の2階常微分方程式になった。

Laguerre の方程式と量子化

(5.5.2) の解は $u\to\infty$ で $\mathrm{e}^{\pm u}$ のように振る舞う（$f''\approx f$）。減る方を先に括り出すため、$z=2u=4H/(\hbar\omega)$ と置いて$f=\mathrm{e}^{-z/2}g(z)$ とすると、$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} u}=2\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}$ から

$$z\,g''+(1-z)\,g'+\Bigl(\varepsilon -\frac12\Bigr)g=0\tag{5.5.3}$$

となる。これは Laguerre の微分方程式で、$\nu_0=\varepsilon -\frac12$ と書くと、$z=0$ で有限な解は Kummer の関数 $g=M(-\nu_0,1,z)$（合流型超幾何関数）である。もう1つの独立な解は $z=0$ で $\ln z$ のように発散するが、第5部第1章で示したとおり $\lvert W\rvert \le1/(\pi\hbar)$ なので捨てる。

残った解の振る舞いを見る。$\nu_0$ が 0 以上の整数でないとき、$M(-\nu_0,1,z)$ は $z\to\infty$ で $\mathrm{e}^zz^{-\nu_0-1}/\Gamma(-\nu_0)$ のように増え、$f=\mathrm{e}^{-z/2}g$ は $\mathrm{e}^{z/2}$ の速さで増える。すると $\int W\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=\pi\hbar\int f\,\mathrm{d} u$ が発散し、$W$ は規格化できない（たとえば $\nu_0=0.3$ では $\mathrm{e}^{-z/2}M(-0.3,1,z)$ が $z=20,40,60$ で桁を上げながら増えることを検算で確かめた）。$\nu_0=n$（$n=0,1,2,\dots$）のときだけ級数が切れて $g$ は $n$ 次の多項式 $L_n(z)$（Laguerre 多項式、$L_n(0)=1$）になり、$f$ は減る。したがって

$$E_n=\hbar\omega\Bigl(n+\frac12\Bigr),\qquad n=0,1,2,\dots\tag{5.5.4}$$

が位相空間の言葉だけで出る。行列力学（第2部第4章）では梯子の演算子と正値性 $\lVert \hat a| E \rangle \rVert ^2\ge0$ が下限を作ったが、ここでは「相空間で積分できる」という条件が同じ役を受け持つ。波動関数の構成で「無限遠で減る」ことが量子化を決めるのと同じ形である。

規格化の定数は $\int_0^\infty\mathrm{e}^{-u}L_n(2u)\,\mathrm{d} u=\frac12\int_0^\infty\mathrm{e}^{-z/2}L_n(z)\,\mathrm{d} z=(-1)^n$ から決まる。$\int W_n\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=\pi\hbar\,C(-1)^n=1$ より $C=(-1)^n/(\pi\hbar)$ で、

$$\boxed{\;W_n(x,p)=\frac{(-1)^n}{\pi\hbar}\,\mathrm{e}^{-u}L_n(2u),\qquad u=\frac{2H}{\hbar\omega}=\frac{p^2}{m\hbar\omega}+\frac{m\omega x^2}{\hbar}\;}\tag{5.5.5}$$

を得る。これは共通例題①の正答表の形 $W_n=\frac{(-1)^n}{\pi\hbar}\mathrm{e}^{-2H/(\hbar\omega)}L_n(4H/(\hbar\omega))$ と同じである。この Laguerre 形は H. J. Groenewold (1946), Physica 12, 405–460 が得ている（Bartlett と Moyal も独立に得た。T. Curtright, T. Uematsu, C. Zachos (2001), J. Math. Phys. 42, 2396 の整理による）。

証明

(i) は上の導出そのもので、$W_n\star H$ は (5.5.1) の虚部の符号が逆になるだけなので、虚部が 0 なら同じ値になる。(ii) は $\mathrm{e}^{-2u}L_n(2u)L_k(2u)$ を $u$ で積分し、Laguerre 多項式の直交性 $\int_0^\infty\mathrm{e}^{-z}L_nL_k\,\mathrm{d} z=\delta_{nk}$ を使うと$\pi\hbar\cdot\frac{1}{\pi^2\hbar^2}\cdot\frac12\delta_{nk}=\frac{\delta_{nk}}{2\pi\hbar}$ になる。(iii) は $L_n(0)=1$ から。

(ii) の純粋度 $2\pi\hbar\int W_n^2=1$ は、第5部第2章の $\operatorname{Tr}\hat\rho^2=2\pi\hbar\int W^2$ で $\operatorname{Tr}\hat\rho^2=1$ を言っている。導出では純粋状態の条件 $W\star W=W/(2\pi\hbar)$ を課さなかったが、結果は純粋状態になった。$\star$ 固有値方程式 $H\star W=W\star H=EW$ は演算子の側で$\hat H\hat\rho=\hat\rho\hat H=E\hat\rho$ を言い、$\hat\rho$ の値域を固有値 $E$ の固有空間に閉じ込める。調和振動子では固有空間が1次元なので、規格化すれば $\hat\rho=| n \rangle \langle n |$ しか残らない。(iii) は 第5部第1章の「原点の値はパリティの期待値の $1/(\pi\hbar)$ 倍」と合い、$| n \rangle$ のパリティ $(-1)^n$ がそのまま現れている。

$L_n(2u)$ は $n$ 個の正の零点を持つので、$W_n$ は原点のまわりに $n$ 本の符号の変わる輪を持つ（図 5.5.1）。負の値の量や、負の値が観測と矛盾しない理由は 第5部第4章で扱った。