橋：熱平衡の $W$ への3つの道と、共通例題①の答えの並び

量子力学の様々な構成方法　第5部 第5章 §5.5.6　★★★ 重み和（この章）・Bloch 方程式（第5部第3章）・位置表示の核（第5部第2章・第4部第4章）の3つの道が同じ $W_\beta$ に着く。各項 $\mathrm{e}^{-\beta E_n}W_n$ が Bloch 方程式の解で、和の初期値は完全性 $\sum_nW_n=1/(2\pi\hbar)$

2つの道は項ごとにつながる

この章の重み和と 第5部第3章の Bloch 方程式は、同じ関数を出すだけでなく、項ごとにつながっている。規格化していない記号$\Omega=2\pi\hbar\,ZW_\beta=2\pi\hbar\sum_n\mathrm{e}^{-\beta E_n}W_n$ を考える。各項は、命題 5.5.1 (i) から

$$\frac{\partial }{\partial \beta}\bigl(\mathrm{e}^{-\beta E_n}W_n\bigr)=-E_n\mathrm{e}^{-\beta E_n}W_n=-H\star\bigl(\mathrm{e}^{-\beta E_n}W_n\bigr)$$

を満たすので、Bloch 方程式 $\partial_\beta\Omega=-H\star\Omega$ の解である。方程式が線形なので和も解で、$\beta=0$ の初期値は$\Omega(0)=2\pi\hbar\sum_nW_n$ である。演算子の側では $\sum_n| n \rangle \langle n |=1$（完全性）で、$1$ の Weyl 記号は $1$、$W=\rho_W/(2\pi\hbar)$ なので

$$\sum_{n=0}^\infty W_n(x,p)=\frac{1}{2\pi\hbar}\tag{5.5.19}$$

となり、$\Omega(0)=1$ で Bloch 方程式の初期条件と一致する。Bloch 方程式の解は初期値で一意に決まるので、2つの道が同じ $\Omega$ に着くことが、計算をやり直さずに分かる。(5.5.19) の左辺は各点で収束する級数ではなく（$\lvert W_n\rvert$ は $n$ が増えても 0 に近づかない点がある）、$\sum_n(-q)^nL_n$ で $q\to1$ とする Abel の意味の和である。熱平衡の重み $\mathrm{e}^{-\beta E_n}$ が、ちょうどこの和を収束させる役を受け持っている。

もう1つの道は 第5部第2章の例題で、熱平衡の $W$ から位置表示の $\langle x' | \hat\rho | x'' \rangle$ を復元し、第4部第4章の虚時間の Mehler 核（第3部第3章の Mehler 核で $t=-\mathrm{i}\beta\hbar$ としたもの）と照合した。こちらは位置表示の核と Wigner 変換の1対1の対応を使う道で、固有状態を使わない点では Bloch 方程式の道に近い。3つの道を図 5.5.3 にまとめる。

図 5.5.3　熱平衡の Wigner 関数への3つの道。左はスペクトルと $W_n$ を先に作る道（この章）、中央は $\beta$ の微分方程式を記号の上で解く道、右は位置表示の核を Wigner 変換する道。破線は、重み和の各項が Bloch 方程式の解であること（本文）。

共通例題①の答えを部ごとに並べる

共通例題①の答え $E_n=\hbar\omega(n+\frac12)$、$Z=1/(2\sinh(\beta\hbar\omega/2))$、$\langle n \rangle =1/(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1)$ が、各部でどの道具から出たかを表 5.5.1 に並べる。どの部でも同じ3つの式が出ることは、それぞれの章の検算で正答表と照合されている。違うのは「量子化を決める条件」で、行列力学では正値性、経路積分では跡の周期性、位相空間では積分できること、流体では節を持たない密度が量子ポテンシャルと釣り合うこと、幾何学的量子化では偏極と半形式の補正である。

学部の標準的な授業では、調和振動子は Hermite 多項式の波動関数で解き、Wigner 関数は扱わないか、$W_0$ の Gauss 関数を見せるだけのことが多い。この章の $W_n$ は、その波動関数 $\psi_n$ を定義の積分に入れれば得られるもの（例題 5.5.1）で、Hermite 多項式の2つの積の Fourier 変換が Laguerre 多項式1つになる、という積分の公式を位相空間の側から言い直したものでもある。共通例題②は 第2部第3章（Heisenberg 方程式）・第4部第5章（Lindblad）・第9部第4章（一般確率論の Bloch 球）と、共通例題③は 第5部第2章（$W$ の剪断）と対応する。