この章のまとめ

(1) 線形性から $W=\frac{W_0+qW_1}{1+q}$。$W_0=\frac{1}{\pi\hbar}\mathrm{e}^{-u}$、$W_1=-\frac{1}{\pi\hbar}\mathrm{e}^{-u}(1-2u)$ なので

$$W=\frac{\mathrm{e}^{-u}}{\pi\hbar(1+q)}\bigl(1-q+2qu\bigr) .$$

$q<1$ なので括弧は $u\ge0$ で正、$W\ge0$。$W_1$ の負の値（$u<\frac12$）の大きさは、重み $q$ が 1 より小さいかぎり $W_0$ の正の値を上回らない。純粋度は命題 5.5.1 (ii) の直交性から $2\pi\hbar\int W^2=\frac{1+q^2}{(1+q)^2}$ で、$s=1$ で $0.6068$。

(2) $\pi\hbar W(0,0)=\frac{1-q}{1+q}=\tanh\frac s2$ で、5.5.2節の切り詰めない値と同じである。原点の値はパリティの期待値 $P_{\text{偶}}-P_{\text{奇}}$ で、切り詰めない熱平衡では偶数準位の確率の和と奇数準位の確率の和の比が $\sum_kq^{2k}:\sum_kq^{2k+1}=1:q$、切り詰めた状態では $1:q$ で、どちらも同じ比になるからである。原点以外では2つの $W$ は違う（切り詰めた方は Gauss 関数でない）。

(3) 切り詰めた状態は $\frac{1}{2}+\frac{q}{1+q}$、切り詰めない熱平衡は (5.5.9) の $\frac12\coth\frac s2=\frac12+\frac{q}{1-q}$。$s=1$ で $0.7689$ と $1.0820$ で、切り詰めは $n\ge2$ の準位の寄与（ここでは $\langle H \rangle$ の $29\%$）を落としている。

(4) $r_z=\frac{q-1}{1+q}=-\tanh\frac s2$、$r_x=r_y=0$。(5.5.11) から $W_{0p}=\frac14(1-\tanh\frac s2)$、$W_{1p}=\frac14(1+\tanh\frac s2)$（$p=0,1$）で、$s=1$ では $0.1345$ と $0.3655$。共鳴の Rabi 振動は $\bm{r}$ を回すだけで長さ $\lvert \bm{r}\rvert =\tanh\frac s2$ を変えないので、負になりうるのは$\tanh\frac s2>\frac1{\sqrt3}$、すなわち $s>2\,\mathrm{artanh}(1/\sqrt3)=1.317$ のときである。$s=1$ では $\lvert \bm{r}\rvert =0.462<0.577$ なので、どう回しても4点とも非負のままである。(1) の連続の $W$ が非負だったことと合わせると、この温度の熱的な状態は、連続の位相空間でも離散の位相空間でも負の値を持たない。

(5) $s\to0$ で切り詰めた状態の $\langle H \rangle$ は $\hbar\omega(\frac12+\frac12)=\hbar\omega$ に止まるのに対し、切り詰めない熱平衡は $\frac{\hbar\omega}2\coth\frac s2\to k_{\mathrm B} T$ と温度に比例して増え、$W_\beta$ は古典の分布 $\frac{\beta\omega}{2\pi}\mathrm{e}^{-\beta H}$ に近づく。切り詰めが使えるのは $q\ll1$、つまり $k_{\mathrm B} T\ll\hbar\omega$ の低温だけで、その範囲では (3) の差は $q^2$ の桁になる。2準位系として扱えるかどうかは、落とした準位の確率 $\sum_{n\ge2}(1-q)q^n=q^2$ の大きさで判定できる。