熱平衡の $W$ を $W_n$ の重み和で組み立てる

量子力学の様々な構成方法　第5部 第5章 §5.5.2　★★★ $W_\beta=\sum_np_nW_n$ を Laguerre の母関数で足し上げると $\frac{\tanh(\beta\hbar\omega/2)}{\pi\hbar}\mathrm{e}^{-u\tanh(\beta\hbar\omega/2)}$。第5部第3章の Bloch 方程式の解と同じ関数

Wigner 変換は線形なので、重みはそのまま移る

熱平衡の密度行列は $\hat\rho=\mathrm{e}^{-\beta\hat H}/Z$ で（第4部第4章）、エネルギーの固有状態で展開すると$\hat\rho=\sum_np_n| n \rangle \langle n |$、$p_n=\mathrm{e}^{-\beta E_n}/Z$ である。Wigner 変換は $\hat\rho$ について線形なので（第5部第1章の (W2)）、

$$W_\beta=\sum_{n=0}^\infty p_n\,W_n,\qquad p_n=\frac{\mathrm{e}^{-\beta E_n}}{Z},\qquad Z=\sum_{n=0}^\infty\mathrm{e}^{-\beta E_n}\tag{5.5.6}$$

となる。必要なのは前の節で導いたスペクトル (5.5.4) と $W_n$ (5.5.5) だけである。$s=\beta\hbar\omega$、$q=\mathrm{e}^{-s}$ と書くと、$Z=\mathrm{e}^{-s/2}\sum_nq^n=\mathrm{e}^{-s/2}/(1-q)=1/(2\sinh(s/2))$ で、共通例題①の $Z$ の形になり、$p_n=(1-q)q^n$ である。

Laguerre の母関数で足し上げる

(5.5.6) に (5.5.5) を入れると、$(-1)^n$ と $q^n$ がまとまって

$$W_\beta=\frac{\mathrm{e}^{-s/2}}{\pi\hbar Z}\,\mathrm{e}^{-u}\sum_{n=0}^\infty(-q)^nL_n(2u)$$

となる。和は Laguerre 多項式の母関数

$$\sum_{n=0}^\infty L_n(z)\,t^n=\frac{1}{1-t}\exp\Bigl(-\frac{tz}{1-t}\Bigr),\qquad\lvert t\rvert <1\tag{5.5.7}$$

で $t=-q$、$z=2u$ と置いたものである（(5.5.7) の $t^0$ から $t^8$ までの係数が $L_0,\dots,L_8$ に一致することを検算した）。$\lvert -q\rvert <1$ なので和はすべての $u$ で収束し、

$$\sum_n(-q)^nL_n(2u)=\frac{1}{1+q}\exp\Bigl(\frac{2qu}{1+q}\Bigr) .$$

指数をまとめると $-u+\frac{2qu}{1+q}=-u\,\frac{1-q}{1+q}=-u\tanh\frac s2$、前因子は$\frac{\mathrm{e}^{-s/2}}{Z(1+q)}=\frac{2\sinh(s/2)\,\mathrm{e}^{-s/2}}{1+\mathrm{e}^{-s}}=\frac{1-\mathrm{e}^{-s}}{1+\mathrm{e}^{-s}}=\tanh\frac s2$ なので

$$\boxed{\;W_\beta(x,p)=\frac{\tanh(\beta\hbar\omega/2)}{\pi\hbar}\exp\Bigl[-\frac{2\tanh(\beta\hbar\omega/2)}{\hbar\omega}H\Bigr]\;}\tag{5.5.8}$$

を得る。これは共通例題①の正答表に挙げた熱平衡の $W$ そのものである。

第5部第3章の例題は、同じ関数を全く別の手順で出した。そこでは $\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ の Weyl 記号 $\Omega$ が Bloch 方程式$\partial_\beta\Omega=-H\star\Omega$ を満たすことを使い、$\Omega=A(\beta)\mathrm{e}^{-B(\beta)H}$ と置いて $A$ と $B$ の常微分方程式を解いた。その道では固有値も固有状態も一度も現れず、$Z$ は最後に $\Omega$ を積分して出てきた。この節の道は逆で、固有値と $W_n$ を先に作り、Boltzmann の重みで足した。前者は「$\beta$ についての時間発展」として熱平衡を見ており、後者は「エネルギー表示での混合」として見ている。第4部第4章が密度行列で行った2つの道（エネルギー表示の等比級数と、位置表示の虚時間の Mehler 核）を、位相空間で並べ直したことになる。2つが同じ関数を与えることは 5.5.6節で項ごとに確かめる。

各項は負でも、和は至る所で正

$W_n$ は $n\ge1$ でどこかが負なのに、(5.5.8) は至る所で正の Gauss 関数である。原点で見ると、$W_n(0,0)=(-1)^n/(\pi\hbar)$ と $p_n=(1-q)q^n$ から

$$\pi\hbar\,W_\beta(0,0)=(1-q)\sum_n(-q)^n=\frac{1-q}{1+q}=\tanh\frac s2$$

で、正負が交互に並ぶ級数が正の値に収まる。これは 第5部第4章の「混合で負の値が消える」ことの具体例で、原点の値 $\pi\hbar W(0,0)$ は熱平衡のパリティの期待値 $\langle \hat\Pi \rangle =P_{\text{偶}}-P_{\text{奇}}$ である。低温（$s\to\infty$）では $\tanh(s/2)\to1$ で $W_0$ に、高温（$s\to0$）では $\tanh(s/2)\approx s/2$ で $W_\beta\to\frac{\beta\omega}{2\pi}\mathrm{e}^{-\beta H}$（古典の Boltzmann 分布）に戻る。

期待値も位相空間の積分で出る。$W_\beta\propto\mathrm{e}^{-ku}$（$k=\tanh(s/2)$）では $\langle u \rangle =\int_0^\infty u\,\mathrm{e}^{-ku}\mathrm{d} u/\int_0^\infty\mathrm{e}^{-ku}\mathrm{d} u=1/k$ なので

$$\langle H \rangle =\frac{\hbar\omega}{2}\coth\frac s2,\qquad \langle \hat n \rangle =\frac{\langle H \rangle }{\hbar\omega}-\frac12=\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1}\tag{5.5.9}$$

である。$\hat n=\hat H/(\hbar\omega)-\frac12$ は $\hat H$ の1次式なので、Weyl 記号は $H/(\hbar\omega)-\frac12$ のままでよい。共通例題①の $\langle n \rangle$ の形が出た。