共通例題②：2準位系の離散 Wigner 関数

量子力学の様々な構成方法　第5部 第5章 §5.5.3　★★ 4点の位相空間に Wootters の位相点の演算子を置くと、Bloch ベクトルが4つの値 $W_{qp}=\frac14(1+\bm{a}_{qp}\cdot\bm{r})$ に写る。Rabi 振動の途中で負になり、$\lvert \bm{r}\rvert \le1/\sqrt3$ まで縮むと負になれない

連続の位相空間が無い系の Wigner 関数

2準位系は $\hat x$ と $\hat p$ を持たないので、ここまでの $W(x,p)$ はそのままでは使えない。W. K. Wootters は 1987 年に、$d$ 準位系（$d$ が素数のとき）に$d\times d$ 点の離散の位相空間と Wigner 関数を作った¹1W. K. Wootters (1987), Ann. Phys. (N.Y.) 176, 1–21.下の脚注へ閉じる。$d=2$ の場合を、連続の場合の性質（実数・規格化・直線に沿った和が測定の確率・状態と1対1）を手がかりに組み立てる。

位相空間は $(q,p)\in\{0,1\}^2$ の4点である。各点に、2行2列のエルミート行列（位相点の演算子）

$$\hat A_{qp}=\frac12\bigl[1+(-1)^q\sigma_z+(-1)^p\sigma_x+(-1)^{q+p}\sigma_y\bigr]\tag{5.5.10}$$

を置き、Wigner 関数を $W_{qp}=\frac12\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat A_{qp})$ で定める。連続の場合の $W(x_0,p_0)=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat\Pi_{x_0,p_0})/(\pi\hbar)$（ずらしたパリティ。第5部第4章）の $\hat\Pi/(\pi\hbar)$ の役を $\hat A/2$ が受け持つ。Bloch ベクトル $\bm{r}=\operatorname{Tr}(\hat\rho\bm{\sigma})$ で書くと

$$W_{qp}=\frac14\bigl[1+(-1)^qr_z+(-1)^pr_x+(-1)^{q+p}r_y\bigr]=\frac14\bigl(1+\bm{a}_{qp}\cdot\bm{r}\bigr),\qquad \bm{a}_{qp}=\bigl((-1)^p,(-1)^{q+p},(-1)^q\bigr)\tag{5.5.11}$$

である。4つのベクトル $\bm{a}_{qp}$ は成分の積が $+1$ の $(\pm1,\pm1,\pm1)$ で、Bloch 球に内接する立方体の頂点のうち1つおきの4つ、つまり正四面体の頂点をなす。異なる2点では $\bm{a}\cdot\bm{a}'=-1$、同じ点では 3 なので、$\operatorname{Tr}(\hat A_{qp}\hat A_{q'p'})=\frac12(1+\bm{a}\cdot\bm{a}')=2\delta_{qq'}\delta_{pp'}$ となり、4つの $\hat A$ は2行2列のエルミート行列の空間（実4次元）の直交基底である。したがって $\hat\rho=\sum_{q,p}W_{qp}\hat A_{qp}$ と逆に戻せて、$W$ と $\hat\rho$ は1対1に対応する（第5部第2章の連続の場合の対応と同じ形）。

連続の位相空間で「直線に沿った積分が1次結合 $ax+bp$ の分布になる」ことに当たるのが、直線に沿った和である。4点の位相空間には平行な2本の直線の組が3つある。

$$\sum_p\hat A_{qp}=1+(-1)^q\sigma_z,\qquad \sum_q\hat A_{qp}=1+(-1)^p\sigma_x,\qquad \sum_{q+p\equiv c}\hat A_{qp}=1+(-1)^c\sigma_y$$

で、右辺はそれぞれ $\sigma_z$、$\sigma_x$、$\sigma_y$ の固有射影の2倍である。よって $q$ が一定の直線（縦線）での $W$ の和は $\sigma_z$ の測定の確率、$p$ が一定の直線（横線）での和は $\sigma_x$ の、対角線での和は $\sigma_y$ の測定の確率になる。とくに $\sigma_z| e \rangle =+| e \rangle$ の向きでは

$$P_e=W_{00}+W_{01}=\frac{1+r_z}{2}\tag{5.5.12}$$

である。3つの測定は互いに偏りのない基底（どの基底の状態も他の基底で確率 $\frac12$ ずつ）で、離散の位相空間の3方向の直線がそれに対応する。

$W_{qp}$ は負になりうる。(5.5.11) が負になるのは $\bm{a}_{qp}\cdot\bm{r}<-1$ のときで、$\lvert \bm{a}\rvert =\sqrt3$ なので純粋状態（$\lvert \bm{r}\rvert =1$）で $\bm{r}$ がある頂点の真反対を向くと最も負の値 $\frac14(1-\sqrt3)=-0.183$ になる。逆に $\lvert \bm{r}\rvert \le1/\sqrt3=0.577$ ならどの $\bm{a}$ との内積も $-1$ 以上で、$W$ は4点とも非負である。連続の場合と同じく、負の値は純粋に近い状態にだけ現れ、混合が進むと消える。

Rabi 振動を4点で見る

共通例題②のハミルトニアン $\hat H=-\frac{\hbar\Delta}{2}\sigma_z-\frac{\hbar\Omega}{2}\sigma_x$ で、$| g \rangle$（$\bm{r}=(0,0,-1)$）から出発する。Bloch ベクトルは $\dot{\bm{r}}=\bm{h}\times\bm{r}$、$\bm{h}=(-\Omega,0,-\Delta)$ で回る（第2部第3章の Pauli 行列の Heisenberg 方程式の期待値）。共鳴（$\Delta=0$）では $\bm{r}(t)=(0,-\sin\Omega t,-\cos\Omega t)$ で、(5.5.11) から

$$W_{qp}(t)=\frac14\bigl[1-(-1)^q\cos\Omega t-(-1)^{q+p}\sin\Omega t\bigr]$$

である。縦線 $q=0$ の和は $\frac12(1-\cos\Omega t)=\sin^2(\Omega t/2)$ で、共通例題②の $P_e$ の共鳴での形が出る。$\Delta\ne0$ でも (5.5.12) は$P_e=(\Omega/\Omega')^2\sin^2(\Omega't/2)$（$\Omega'=\sqrt{\Omega^2+\Delta^2}$）を与えることを検算した。

$\Omega t=\pi/4$ では $W_{00}=\frac14(1-\sqrt2)=-0.104$、$W_{01}=W_{11}=0.25$、$W_{10}=\frac14(1+\sqrt2)=0.604$ で、1点が負である。共鳴の Rabi 振動では、$\bm{r}$ が $y$–$z$ 面の大円を回り、$\Omega t$ が $\pi/2$ の整数倍の瞬間（$\bm{r}$ が座標軸に重なる瞬間）を除いて、いつもどこか1点が負になる。緩和を入れると（Lindblad 方程式。第4部第5章）$\bm{r}$ は球の内側へ縮み、$\lvert \bm{r}\rvert \le1/\sqrt3$ に入った後は負の値は現れない。

離散 Wigner 関数の選び方は1つではない。(5.5.10) の符号を変えた別の正四面体（成分の積が $-1$ の4頂点）を使っても、同じ3組の直線の性質を持つ Wigner 関数ができる。連続の場合の Wigner 関数が (W1)〜(W4) でほぼ一意に決まったのとは違い、2準位系では位相空間の向きの付け方の分だけ選択の自由が残る。ここでは共通例題②の答え $P_e(t)$ が縦線の和として出ることを確かめるのにとどめ、一般確率論の状態空間としての Bloch 球は 第9部第4章に任せる。

1　W. K. Wootters (1987), Ann. Phys. (N.Y.) 176, 1–21.