半古典近似（1）：$W_n$ の Airy 形と Bohr–Sommerfeld の条件

量子力学の様々な構成方法　第5部 第5章 §5.5.4　★★★ $W_n$ は古典のトーラス $H=E_n$ の外側で減り、トーラスの近くで Airy 関数の形になる。トーラスの囲む面積が $2\pi\hbar(n+\frac12)$ という条件が Bohr–Sommerfeld の量子化条件

転回点の近くで Airy の方程式になる

$n$ が大きい（作用が $\hbar$ に比べて大きい）とき、$W_n$ はどこに集まるか。$z=4H/(\hbar\omega)$ の変数で、(5.5.2) を $f$ のまま書くと

$$z\,f''+f'+\frac{\nu-z}{4}f=0,\qquad \nu=4n+2=\frac{4E_n}{\hbar\omega}$$

である（$'$ は $z$ についての微分）。$z<\nu$ では $f$ の係数が正で $f$ は振動し、$z>\nu$ では負で $f$ は指数関数的に減る。境目 $z=\nu$ は $H=E_n$、すなわちエネルギー $E_n$ の古典の軌道（トーラス）である。古典の粒子はトーラスの上にしかいないが、$W_n$ はトーラスの内側に振動する裾を持ち、外側へはしみ出して減る。

トーラスの近くを拡大する。$z=\nu+\ell\xi$ と置き、$\nu$ が大きいとして $z$ の係数を $\nu$ で置き換え、$f'$ の項（$f''$ に比べて $\ell/\nu$ の桁で小さい）を落とすと$\nu f''\approx\frac{z-\nu}{4}f$、すなわち $\frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}\xi^2}=\frac{\ell^3}{4\nu}\xi f$ になる。$\ell=(4\nu)^{1/3}$ と選ぶと Airy の方程式 $f_{\xi\xi}=\xi f$ で、$\xi\to+\infty$（トーラスの外）で減る解は Airy 関数 $\mathrm{Ai}(\xi)$ である。振幅 $A$ は、$\pi\hbar W_n\approx A\,\mathrm{Ai}((z-\nu)/\ell)$ と置いて、面積要素 $\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=\pi\hbar\,\mathrm{d} u=\frac{\pi\hbar}{2}\mathrm{d} z$ での規格化$\int W_n\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=\frac12\int\pi\hbar W_n\,\mathrm{d} z=\frac12A\ell\int_{-\infty}^\infty\mathrm{Ai}(\xi)\,\mathrm{d}\xi=\frac12A\ell=1$ から $A=2/\ell=(2/\nu)^{1/3}$ と決まる。まとめると

$$\begin{gathered} W_n(x,p)\approx\frac{1}{\pi\hbar}\Bigl(\frac{2}{\nu}\Bigr)^{1/3}\mathrm{Ai}\Bigl(\frac{z-\nu}{(4\nu)^{1/3}}\Bigr) =\frac{1}{\pi\hbar}\Bigl(\frac{2}{\nu}\Bigr)^{1/3}\mathrm{Ai}\Bigl(\frac{H-E_n}{\Delta H}\Bigr),\\ \Delta H=\hbar\omega\Bigl(\frac{\nu}{16}\Bigr)^{1/3}=(\hbar\omega)^{2/3}\Bigl(\frac{E_n}{4}\Bigr)^{1/3} \end{gathered}\tag{5.5.13}$$

である。振幅の決め方は粗い（Airy の形が当たるのはトーラスの近くだけなので、全体の積分で振幅を合わせるのは手早い見積もりである）が、Laguerre 多項式には転回点で一様に成り立つ Airy 型の漸近展開が知られていて（DLMF §18.15(iv)）、その主要項は (5.5.13) と同じ形になる。

図 5.5.2 は $n=10$ で厳密な $W_{10}$ と (5.5.13) を比べたものである。トーラス $H=E_{10}=10.5\,\hbar\omega$ の内外で両者はよく重なり、最も外側の山の位置は厳密に $z=36.32$、Airy の形の予言（$\mathrm{Ai}'$ の最初の零点 $a'_1=-1.0188$ から $z=\nu+(4\nu)^{1/3}a'_1$）で $36.38$ である。トーラスの近く（$\lvert z-\nu\rvert$ が $(4\nu)^{1/3}$ の2〜3倍まで）の最大の誤差は山の高さの $12\%$（$n=10$）、$4\%$（$n=40$）で、$n$ とともに小さくなる。トーラスから遠い内側（原点の近く）では Airy の形は外れ、そこでの振動は M. V. Berry が弦（トーラス上の2点を結ぶ線分）の構成で与えた別の近似式が受け持つ¹1M. V. Berry (1977), Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 287, 237–271.下の脚注へ閉じる。

古典極限と Bohr–Sommerfeld の条件

(5.5.13) で $\hbar\to0$（$E_n$ を固定して $n\to\infty$）とすると、遷移の幅 $\Delta H\propto\hbar^{2/3}$ は 0 に縮み、振動する裾は細かくなって平均すると消える。相空間の面積要素を $H$ で書くと $\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=\frac{2\pi}{\omega}\mathrm{d} H$ なので、$\int W\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=1$ を保ったまま幅が縮む極限は

$$W_n\ \longrightarrow\ \frac{\omega}{2\pi}\,\delta(H-E_n)$$

で、エネルギー $E_n$ の古典の小正準分布（トーラスの上に一様に広がった分布）である。Berry（1977）は、可積分な系の束縛状態の Wigner 関数が$\hbar\to0$ でトーラスの上のデルタ関数になることを、一般の自由度で示した。

トーラスの位置は量子化条件で決まる。楕円 $H=E$ の囲む面積は、半軸 $\sqrt{2mE}$ と $\sqrt{2E/(m\omega^2)}$ から $\pi\sqrt{2mE}\sqrt{2E/(m\omega^2)}=2\pi E/\omega$ で、$E=E_n$ では

$$\oint_{H=E_n}p\,\mathrm{d} x=2\pi\hbar\Bigl(n+\frac12\Bigr)\tag{5.5.14}$$

である。これが Bohr–Sommerfeld の量子化条件で、$\frac12$ は転回点を2回通るごとに位相が $-\pi/2$ ずれる分（Maslov の補正）である。経路積分の停留位相では焦点ごとの $-\pi/2$（第3部第4章）、幾何学的量子化では前量子化の整数条件と半形式の補正（第10部第4章）として同じ $\frac12$ が現れる。位相空間の構成では、$W_n$ の山がちょうど面積 $2\pi\hbar(n+\frac12)$ のトーラスの上にくることとして読める。調和振動子では (5.5.14) は厳密に正しいエネルギーを与えるが、一般のポテンシャルでは近似で、$n$ が大きいほどよくなる（次の例題）。

1　M. V. Berry (1977), Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 287, 237–271.