半古典近似（2）：Moyal 方程式の $\hbar^2$ の項を摂動として扱う

量子力学の様々な構成方法　第5部 第5章 §5.5.5　★★ Liouville の流れに $\hbar^2V'''\partial_p^3$ の源を足すと、補正は古典の流れの3階の微分で書ける。短い時刻の補正は正しく出るが、離散の準位による復活（時刻 $\propto1/\hbar$）はどの次数でも出ない

1次の補正を Liouville の流れで書く

$H=p^2/(2m)+V(x)$ の Moyal 方程式は（第5部第3章）

$$\frac{\partial W}{\partial t}=\{H,W\}-\frac{\hbar^2}{24}V'''\,\frac{\partial^3W}{\partial p^3}+\mathcal{O}(\hbar^4)$$

である。$W=W^{(0)}+\hbar^2W^{(1)}+\mathcal{O}(\hbar^4)$ と展開し、$\hbar$ の次数ごとに分けると

$$\frac{\partial W^{(0)}}{\partial t}=\{H,W^{(0)}\},\qquad \frac{\partial W^{(1)}}{\partial t}=\{H,W^{(1)}\}-\frac{1}{24}V'''\,\frac{\partial^3W^{(0)}}{\partial p^3},\qquad W^{(1)}(0)=0\tag{5.5.15}$$

となる。0次は古典の Liouville 方程式で、初めの $W$ を古典の確率密度とみなして各点を Hamilton の流れ $\phi_t$ で運べばよい（$W^{(0)}(t)=W(0)\circ\phi_{-t}$）。この近似は量子光学や冷却原子で「切り詰めた Wigner 近似」と呼ばれる。1次は同じ Liouville の流れに源の項が加わった線形の方程式で、Duhamel の公式

$$W^{(1)}(t)=-\frac1{24}\int_0^t\mathrm{d} s\,\Bigl[V'''\,\frac{\partial^3W^{(0)}(s)}{\partial p^3}\Bigr]\circ\phi_{-(t-s)}\tag{5.5.16}$$

で解ける（時刻 $s$ に源で作られた分を、残りの時間 $t-s$ だけ古典の流れで運んで足し合わせる。$t$ で微分すれば (5.5.15) の2つ目に戻る）。

物理量 $A(x,p)$ の期待値の補正は、(5.5.16) に $A$ を掛けて積分し、流れが相空間の体積を保つこと（Liouville の定理）で $\phi$ を $A$ の側へ移し、$p$ について3回部分積分すると

$$\delta\langle A \rangle (t)=\frac{\hbar^2}{24}\int_0^t\mathrm{d} s\int W^{(0)}(s)\,V'''\,\frac{\partial^3}{\partial p^3}\bigl(A\circ\phi_{t-s}\bigr)\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p\tag{5.5.17}$$

となる。量子の補正は、古典の流れ $A\circ\phi_\tau$ を運動量について3回微分したものに比例する。流れが線形（$H$ が2次以下）なら $A\circ\phi_\tau$ は $x,p$ の1次式に $A$ を合成したもので、$A$ が2次以下なら3階の微分は 0 になり、補正は消える。これは 第5部第3章の「2次以下の $H$ では Moyal 方程式は Liouville 方程式と一致する」を、期待値の側から言い直したものである。非線形な流れでは、振動数が作用に依存するために $A\circ\phi_\tau$ の初期値への依存が時間とともに強くなり、補正は時間とともに増える。

短い時刻の補正と、展開で書けない復活

$t\to0$ で (5.5.17) の被積分関数は $V'''\partial_p^3A$ に近づくので、$A=p^3$ では

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\delta\langle p^3 \rangle \Big|_{t=0}=\frac{\hbar^2}{24}\cdot3!\,\langle V''' \rangle _0=\frac{\hbar^2}{4}\langle V''' \rangle _0$$

である（$\langle \cdot \rangle _0$ は初めの $W$ での平均）。この式は Moyal 括弧 $\{\!\{p^3,H\}\!\}$ の $\hbar^2$ の項（第5部第3章の例題）とも一致する。$\langle x \rangle$ や $\langle p \rangle$ のような低いモーメントの式には $\hbar^2$ の項が入らないので、量子と古典の差はまず3次のモーメントに現れ、何段かのモーメントの式を経てから $\langle x \rangle$ に現れる。第5部第3章の図で $t\lesssim1$ の間 $\langle x \rangle$ が量子と古典で 0.01 以内に重なっていたのはこのためである。

摂動の展開では書けない現象もある。同じ図で量子の $\langle x \rangle$ が $t\approx12$ で戻り始める復活は、準位が離散的であることによる。Bohr–Sommerfeld の条件 (5.5.14) で作用変数 $I=\hbar(n+\frac12)$ ごとにエネルギー $E(I)$ が決まると、隣り合う準位の振動数のずれは $E''(n)=\hbar^2\,\mathrm{d}^2E/\mathrm{d} I^2$ で、位相がそろい直す時刻は

$$t_{\mathrm{rev}}=\frac{2\pi\hbar}{\lvert E''(n)\rvert }=\frac{2\pi}{\hbar\,\lvert \mathrm{d}^2E/\mathrm{d} I^2\rvert }\tag{5.5.18}$$

である。$t_{\mathrm{rev}}$ は $1/\hbar$ に比例する。(5.5.15) を $\hbar^2$ の何次まで続けても、各次の補正は時間の関数を $\hbar$ のべきで掛けたものなので、$\hbar\to0$ で $1/\hbar$ のように遠ざかる時刻の現象は、有限の次数の和では表せない。復活は Moyal 方程式そのもの（すべての次数）には含まれているが、$\hbar$ の展開の外にある。離散の準位で直接計算する行列力学の見方は 第2部第3章が4次の非調和振動子で行った。