負の値はどこに現れるか

量子力学の様々な構成方法　第5部 第4章 §5.4.1　★★★ 負の値の場所と量。直交性から負の値の存在が従うことと、負の量を測る負の体積

第5部の構成は、密度行列の代わりに位相空間の関数 $W(x,p)$ を状態とみなす。第5部第1章では、この関数に古典の分布と同じ性質を求めると、実数値・規格化・線形性・周辺分布・平行移動との整合の5つは両立するが、「至る所で非負」だけは両立しないことを示した。第5部第2章では、$W$ と密度行列 $\hat\rho$ が1対1に対応し、期待値がすべて $\int W A_{\mathrm W}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p$ の形で書けることを証明した。すると、$W$ が負になる点を含む状態でも、計算した期待値や確率はすべて基準（第1部第2章）と一致している。負の値を持つ関数が確率のように使えて、しかも矛盾を起こさないのはなぜか。この章はこの問いに答える。

部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち、この章は「基準との同値」の後に、この構成だけが持つ特徴（負の値）を調べる位置にある。結論は次の4点にまとめられる。第一に、負の値は干渉と同じ起源を持ち、相空間の面積 $2\pi\hbar$ より細かい所にしか現れない。どんな状態の $W$ でも、別の状態の $W$ でならすと非負になる。第二に、$W$ の負の値はどの測定の結果の確率でもない。「点 $(x,p)$ のまわりの小さな領域に粒子がいる」という事象には、それを測る量子力学の測定が存在しない。第三に、純粋状態で $W$ が至る所で非負になるのは Gauss 波束だけである（Hudson の定理）。この章で証明する。第四に、確率論の言葉では、「すべての1次結合 $ax+bp$ の分布を同時に再現する確率分布」は存在すれば $W$ そのものに限られる（Cramér–Wold の定理）。$W$ が負なら、そのような同時分布は存在しない。

この章では1次元・1粒子に話を限る。調和振動子の計算では無次元の量 $u=2H/(\hbar\omega)$（$H=p^2/(2m)+m\omega^2x^2/2$）を使う。$u$ だけの関数を積分するときは、相空間の面積要素が $\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=\pi\hbar\,\mathrm{d} u$ になる。

1点の値はずらしたパリティの期待値

第5部第1章で示したとおり、$W$ の1点 $(x_0,p_0)$ での値は、状態をずらしてその点を原点に持ってきたときのパリティの期待値に比例する。位置を $x_0$、運動量を $p_0$ だけずらすユニタリを $\hat D(x_0,p_0)=\exp\bigl(\mathrm{i}(p_0\hat x-x_0\hat p)/\hbar\bigr)$、パリティを $(\hat\Pi\psi)(x)=\psi(-x)$ として、ずらしたパリティを

$$\hat\Pi_{x_0,p_0}=\hat D(x_0,p_0)\,\hat\Pi\,\hat D(x_0,p_0)^\dagger\tag{5.4.1}$$

と置くと、混合状態まで含めて

$$W(x_0,p_0)=\frac{1}{\pi\hbar}\operatorname{Tr}\bigl(\hat\rho\,\hat\Pi_{x_0,p_0}\bigr)\tag{5.4.2}$$

が成り立つ（純粋状態の式を (W2) の線形性で混合状態へ広げた）。$\hat\Pi_{x_0,p_0}$ は点 $(x_0,p_0)$ を中心とする鏡映で、固有値は $\pm1$ だけである。したがって $W(x_0,p_0)<0$ は、「点 $(x_0,p_0)$ のまわりで鏡映したとき、奇の成分の重みが偶の成分の重みより大きい」ことを意味する。負の値は「確率が負」なのでなく、固有値 $\pm1$ の物理量の期待値が負であることを表している。この読み方は 2節と6節でもう一度使う。

直交性から負の値の存在が従う

第5部第2章のトレースの公式から、2つの状態の重なりは

$$\operatorname{Tr}(\hat\rho_1\hat\rho_2)=2\pi\hbar\int W_1W_2\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p\tag{5.4.3}$$

で与えられる。直交する2つの純粋状態では左辺が $0$ になる。もし $W_1$ と $W_2$ がどちらも至る所で正なら、右辺の被積分関数は正で、積分も正になる。したがって次の命題が成り立つ。

証明

$W_2\ge0$ と仮定する。$W_2$ は連続で $\int W_2=1$ なので、ある開集合の上で正である。そこで $W_1W_2>0$ だから$2\pi\hbar\int W_1W_2>0$ となり、(5.4.3) の左辺が $0$ であることに矛盾する。

調和振動子の基底状態の $W_0=\frac{1}{\pi\hbar}\mathrm{e}^{-u}$ は至る所で正なので、励起状態 $| n \rangle$（$n\ge1$）の $W_n$ はすべてどこかで負になる。共通例題①の形（第5部第5章）

$$W_n=\frac{(-1)^n}{\pi\hbar}\mathrm{e}^{-u}L_n(2u),\qquad u=\frac{2H}{\hbar\omega}\tag{5.4.4}$$

でこれを確かめると、$\int W_0W_n\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=\frac{(-1)^n}{\pi\hbar}\int_0^\infty\mathrm{e}^{-2u}L_n(2u)\,\mathrm{d} u=0$（$n\ge1$）となり、被積分関数が符号を変えることがわかる。命題 5.4.1 の議論は Gauss 波束1つと直交するどんな状態にも当てはまる。奇の状態はすべて原点の Gauss 波束に直交するので、どれも負の値を持つ。

負の体積

負の値の大きさを1つの数で測るには、$\lvert W\rvert$ の積分が1をどれだけ超えるかを見ればよい。

$$\delta=\int\lvert W\rvert \,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p-1=2\int_{W<0}\lvert W\rvert \,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p\tag{5.4.5}$$

を負の体積と呼ぶ。2つ目の等号は $\int W=1$ から出る。$W\ge0$ なら $\delta=0$ で、負の部分が大きいほど $\delta$ は大きい。この量は A. Kenfack と K. Życzkowski が非古典性の指標として導入した（A. Kenfack and K. Życzkowski (2004)、J. Opt. B 6、396）。

同じ計算を $n=2,\dots,5$ で数値的に行うと、$\delta_n=0.729,\ 0.977,\ 1.191,\ 1.383$ で、$n$ とともに増える。$W_n$ は $L_n(2u)$ の $n$ 個の零点で符号を変える同心の輪になり、輪の幅は相空間の面積で測っておよそ $2\pi\hbar$ 程度である。もう1つの典型は、離れた2つの Gauss 波束の重ね合わせ（猫状態）で、第5部第2章の総合問題で見たとおり、2つの山の中間に $\cos(2ap/\hbar)$ の縞（$2a$ は山の間隔）が立ち、縞の谷で $W$ が負になる。縞の運動量方向の周期は $\pi\hbar/a$ で、山の間隔と縞の周期の積はつねに $2\pi\hbar$ である。どちらの例でも、負の値は相空間の面積 $2\pi\hbar$ より細かい構造の中にある。