この章のまとめ

(1) (5.3.11) で $V=\lambda x^4$ とすると $V'=4\lambda x^3$、$V'''=24\lambda x$、$V^{(5)}=0$ なので

$$\frac{\partial W}{\partial t}=-\frac pm\frac{\partial W}{\partial x}+4\lambda x^3\frac{\partial W}{\partial p}-\lambda\hbar^2x\frac{\partial^3W}{\partial p^3}$$

で厳密に止まる。$\hbar^4$ 以降の項はすべて $V$ の5階以上の微分を含み、4次の多項式では 0 になる。

(2) 定理 5.3.5 (b) の後の式 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat A \rangle =\int W\{\!\{A_W,H\}\!\}$ を使う。$\{\!\{x,H\}\!\}=p/m$、$\{\!\{p,H\}\!\}=-4\lambda x^3$ は (5.3.9) の補正の項が消えるので

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat x \rangle =\frac{\langle \hat p \rangle }{m},\qquad \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat p \rangle =-4\lambda\int Wx^3=-4\lambda\langle \hat x^3 \rangle .$$

古典の集団でも同じ形 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle x \rangle =\langle p \rangle /m$、$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle p \rangle =-4\lambda\langle x^3 \rangle$ になる。$p^3$ では $\hbar^2$ の項のうち $-f_{ppp}g_{xxx}$ が残り、

$$\begin{gathered} \{\!\{p^3,H\}\!\}=-12\lambda x^3p^2+\frac{\hbar^2}{24}\cdot6\cdot24\lambda x=-12\lambda x^3p^2+6\lambda\hbar^2x ,\\ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat p^3 \rangle =-12\lambda\int Wx^3p^2+6\lambda\hbar^2\langle \hat x \rangle . \end{gathered}$$

古典では $-12\lambda\langle x^3p^2 \rangle$ だけで、量子では $6\lambda\hbar^2\langle \hat x \rangle$ が足される。例題 5.3.3 と同じく、違いは3次のモーメントから現れる。

(3) この $W$ では $x$ と $p$ が独立で、$x$ は平均 $x_0$・分散 $1/2$、$p$ は平均 0・分散 $1/2$。$\langle x^3 \rangle =x_0^3+3x_0\cdot\frac12$ なので古典の項は $-12\lambda\langle p^2 \rangle \langle x^3 \rangle =-6\lambda\bigl(x_0^3+\tfrac32x_0\bigr)$、量子の補正は $6\lambda x_0$。比の大きさは

$$\frac{6\lambda x_0}{6\lambda(x_0^3+\tfrac32x_0)}=\frac{1}{x_0^2+\tfrac32}$$

で、$x_0=1$ で $0.40$、$x_0=3$ で $0.095$ である。$x_0^2$ は振動の作用（$\hbar$ を単位とした大きさ）の目安なので、作用が大きいほど補正は小さく、5.3.4節の見積もり $(\hbar/(L\Delta p))^2$ と同じ向きになる。

(4) (5.3.16) で $V''=12x^2$、$V'^2=16x^6$。$p$ で積分すると $\chi\to-\beta^2V''/12+\beta^3V'^2/24=-\beta^2x^2+\tfrac23\beta^3x^6$ なので

$$Z=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2\pi}{\beta}}\int\mathrm{e}^{-\beta x^4}\Bigl(1-\beta^2x^2+\frac23\beta^3x^6\Bigr)\mathrm{d} x .$$

$\beta=0.5$ で数値積分すると $Z_{\mathrm{cl}}=1.21628$（括弧の 1 だけ）、補正つきで $Z=1.14361$。厳密な値 $1.14677$ に対し、古典は $+6.1\%$、補正つきは $-0.28\%$ のずれで、第5部第1章の表と同じ値になる。Kirkwood の位置表示から出した式と、Bloch 方程式の Weyl 記号から出した式が同じ $Z$ を与えることの数値での確認である。

(5) 例題 5.3.6 から定常状態で $2\langle T \rangle =\langle xV' \rangle =4\lambda\langle x^4 \rangle =4\langle V \rangle$、よって $\langle T \rangle =2\langle V \rangle$。$E_0=\langle T \rangle +\langle V \rangle =3\langle V \rangle$ から $\langle V \rangle =0.22266$、$\langle T \rangle =0.44533$。数値の対角化で求めた基底状態の $\langle x^4 \rangle$ がこの値に一致することを検算で確かめた。古典の周期運動でも時間平均で $\overline T=2\overline V$ が成り立ち、ビリアル定理は2次以下でない $H$ でも括弧の形が古典と一致する例である（$xp$ が2次なので）。