$\hbar\to0$：Liouville 方程式と量子補正

量子力学の様々な構成方法　第5部 第3章 §5.3.4　★★★ Moyal 方程式の $\hbar^0$ の項が古典の統計力学の Liouville 方程式。量子補正は $\hbar^2V'''\partial_p^3$ から始まり、作用が $\hbar$ に比べて大きいほど小さい

古典の統計力学へ

(5.3.9) で $\hbar\to0$ とすると $\{\!\{f,g\}\!\}\to\{f,g\}$ なので、Moyal 方程式は

$$\frac{\partial W}{\partial t}=\{H,W\}\tag{5.3.12}$$

になる。これは相空間の確率密度の Liouville 方程式（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第1章の $\partial_t\rho=\{H,\rho\}$）で、古典の統計力学の時間発展そのものである。同じように、記号の Heisenberg 方程式 $\partial_tA=\{\!\{A,H\}\!\}$ は $\hbar\to0$ で $\partial_tA=\{A,H\}$ になり、これは古典の物理量を Hamilton の流れで運ぶ式（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第11章）である。古典力学の2つの書き方（分布を運ぶ Liouville、物理量を運ぶ Hamilton）と、量子力学の2つの描像（Schrödinger、Heisenberg）が、記号の上で1対1に並ぶ。この対応は 解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第3章が演算子の言葉で述べたもので、ここでは両側を同じ位相空間の関数の式として書けた。

古典極限の見方はこの巻に3つある。経路積分の停留位相（第3部第4章）、Madelung の流体で量子ポテンシャルが消えること（第7部第2章）、そしてここで述べた Moyal 括弧が Poisson 括弧に戻ることである。前の2つは純粋状態の波動関数の位相を見るのに対し、Moyal の見方は密度行列（混合状態を含む）について述べ、$\hbar$ の展開が演算子の積の構造そのものから出てくる点が違う。

量子補正の大きさと数値例

$\hbar\to0$ の極限は、$\hbar$ を小さくする操作ではなく、系の典型的な作用（運動量の広がり×位置の広がり）が $\hbar$ に比べて大きいという意味である。(5.3.11) の補正の項 $\hbar^2V'''\partial_p^3W$ と古典の項 $V'\partial_pW$ の比は、$W$ が運動量の幅 $\Delta p$ で変わるとすると$\hbar^2V'''/(V'\Delta p^2)$ の桁で、ポテンシャルが位置の幅 $L$ で変わるなら $V'''/V'\sim1/L^2$ なので $(\hbar/(L\Delta p))^2$ の桁になる。$L\Delta p$ が系の作用の大きさで、それが $\hbar$ より十分大きいときに古典の Liouville 方程式がよい近似になる。

図 5.3.1 は、$V=x^4/4$（$\hbar=m=1$）で、同じ Gauss 関数 $W_0=\frac1\pi\mathrm{e}^{-(x-2)^2-p^2}$ から出発した $\langle x \rangle (t)$ を、量子（Schrödinger 方程式を数値で解いたもの）と古典（$W_0$ を確率密度とみて各点を Hamilton 方程式で動かしたもの）で比べたものである。$W_0$ は至る所で正なので、古典の確率密度として読める。$t\lesssim1$ では両者は 0.01 以内で重なる。古典の集団は、振幅で周期が違うので位相がばらけ、$\langle x \rangle$ は 0 に減衰したまま戻らない。量子では準位が離散的なので位相のばらけが部分的に戻り、$t\approx12$ で $\langle x \rangle$ が $0.2$ 程度まで復活する。Moyal 方程式は $V'''=6x\ne0$ のため古典と違い、その違いは $\hbar^2$ の項1つだけ（4次のポテンシャルなので $\hbar^4$ 以降は無い）だが、長い時間をかけて積み重なる。

図 5.3.1　$V=x^4/4$（$\hbar=m=1$）で、同じ $W_0$ から出発した $\langle x \rangle (t)$。実線は Liouville 方程式（$\hbar\to0$ の近似）、点線は量子の厳密な時間発展。$t\lesssim1$ で一致し、量子だけが $t\approx12$ 付近で復活する。数値は verify_ch5-03.py。