Moyal 括弧と Moyal 方程式

量子力学の様々な構成方法　第5部 第3章 §5.3.3　★★★ 交換子は Moyal 括弧に、Heisenberg 方程式と von Neumann 方程式は Moyal 方程式に写る。Weyl 対応が1対1なので同値は両向きに成り立つ

Moyal 括弧

$\star$ 積の級数 (5.3.4) で $f$ と $g$ を入れ替えると、$\overleftrightarrow\Pi$ の符号が変わるので $n$ 次の項に $(-1)^n$ が掛かる。差を取ると偶数次の項が消え、奇数次の項が2倍になる。$\mathrm{i}\hbar$ で割ると

$$\{\!\{f,g\}\!\}=\frac{2}{\hbar}\,f\sin\Bigl[\frac{\hbar}{2}\overleftrightarrow\Pi\Bigr]g =\{f,g\}-\frac{\hbar^2}{24}\bigl(f_{xxx}g_{ppp}-3f_{xxp}g_{xpp}+3f_{xpp}g_{xxp}-f_{ppp}g_{xxx}\bigr)+\mathcal{O}(\hbar^4)\tag{5.3.9}$$

となる。$\hbar$ の1次の項 $\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}\{f,g\}$ が2倍されて $\mathrm{i}\hbar$ で割られ、Poisson 括弧がちょうど係数1で残る。次の補正は $\hbar^2$ で、$f$ と $g$ を合わせて6回微分する。展開の形は 第10部第1章で Groenewold の矛盾を読むときに使った式と同じで、ここで導いた。Moyal 括弧は Poisson 括弧と同じく反対称で、Jacobi 恒等式も満たす（交換子の Jacobi 恒等式を写したもの）。

Moyal 方程式

(a) と (b) は、期待値が描像によらないこと

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\int W A_W\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=\int\{\!\{H,W\}\!\}A_W\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=\int W\{\!\{A_W,H\}\!\}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p$$

の2通りの書き方に当たる。2つ目の等号は命題 5.3.3 (iii) と結合律から $\int(H\star W)\star A=\int W\star(A\star H)$ などとして、積分の中で $\star$ 積を巡回させてよいことによる。この式で $A_W$ を $x^jp^k$ に取れば、位相空間のモーメントの時間変化が Moyal 括弧1つで書ける。

$H=p^2/(2m)+V(x)$ の場合

ハミルトニアンが $\hat H=\hat p^2/(2m)+V(\hat x)$ なら、記号は $H=p^2/(2m)+V(x)$ そのものである（前の章：$x$ だけ、$p$ だけの関数の記号は古典の関数と同じ）。(5.3.4) を運動エネルギーとポテンシャルに分けて当てる。$V(x)$ は $p$ で微分できないので、$V\star W$ では $k=0$ の項だけ、$W\star V$ では $k=n$ の項だけが残り

$$V\star W-W\star V=\sum_{n}\frac{1}{n!}\Bigl(\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}\Bigr)^n\bigl(1-(-1)^n\bigr)V^{(n)}\,\partial_p^nW .$$

奇数の $n$ だけが残り、$\mathrm{i}\hbar$ で割ると係数は $\frac{1}{n!}(\mathrm{i}\hbar/2)^{n-1}$ になる。運動エネルギーの側も同じ計算で、$p^2$ は3階以上の微分が消えるので $n=1$ だけが残る。まとめて

$$\frac{\partial W}{\partial t}=-\frac pm\frac{\partial W}{\partial x}+V'(x)\frac{\partial W}{\partial p}-\frac{\hbar^2}{24}V'''(x)\frac{\partial^3W}{\partial p^3}+\frac{\hbar^4}{1920}V^{(5)}(x)\frac{\partial^5W}{\partial p^5}-\cdots\tag{5.3.11}$$

を得る。初めの2項は古典の Liouville 方程式の右辺 $\{H,W\}=H_xW_p-H_pW_x$ と同じで、3項目以降が量子の補正である。補正の項はポテンシャルの3階以上の微分と運動量の3階以上の微分の組で、ポテンシャルが4次の多項式なら $\hbar^2$ の項で厳密に止まる。

自由粒子では $V=0$ で、(5.3.11) は $\partial_tW=-(p/m)\partial_xW$ だけになる。$W_t(x,p)=W_0(x-pt/m,p)$ を入れると$\partial_tW_t=-(p/m)(\partial_xW_0)(x-pt/m,p)=-(p/m)\partial_xW_t$ で、確かに解である。共通例題③の剪断の解（第5部第2章の5節で特性関数から導いた $W_t=W_0(x-pt/m,p)$ と、そこから出る $\sigma(t)^2=\sigma_0^2+(\hbar t/(2m\sigma_0))^2$）が、Moyal 方程式の立場からも出てくる。前の章は Heisenberg 方程式が線形に閉じることを使ったが、ここでは Moyal 括弧が2次の $H$ で Poisson 括弧に一致することを使っている。