$\star$ 積で書く定常状態と熱平衡

量子力学の様々な構成方法　第5部 第3章 §5.3.5　★★ 固有状態は $H\star W=EW$、純粋状態は $W\star W=W/(2\pi\hbar)$、熱平衡は Bloch 方程式 $\partial_\beta\Omega=-H\star\Omega$。調和振動子では熱平衡の $W$ が厳密に解ける

$\star$ 固有値方程式と純粋状態

固有状態 $\hat H| \psi_E \rangle =E| \psi_E \rangle$ の密度行列 $\hat\rho=| \psi_E \rangle \langle \psi_E |$ は $\hat H\hat\rho=\hat\rho\hat H=E\hat\rho$ を満たす。定理 5.3.2 で記号に写すと

$$H\star W=W\star H=E\,W\tag{5.3.13}$$

である。D. B. Fairlie は 1964 年にこの形で、Schrödinger 方程式を経ずに位相空間の関数の方程式として固有状態を求める道を示した¹1D. B. Fairlie (1964), Proc. Cambridge Philos. Soc. 60, 581–586.下の脚注へ閉じる。$H\star W-W\star H=0$ は Moyal 方程式の定常条件、$H\star W+W\star H=2EW$ がエネルギーを決める条件である。2次の $H=p^2/(2m)+m\omega^2x^2/2$ では (5.3.6) が厳密に $\hbar^2$ で止まり、

$$H\star W=\Bigl[H-\frac{\hbar^2}{8}\Bigl(\frac1m\partial_x^2+m\omega^2\partial_p^2\Bigr)\Bigr]W+\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}\{H,W\}$$

と実部と虚部に分かれる。虚部が 0 の条件は $W$ が $H$ だけの関数であること、実部の条件が $H$ の関数についての2階の常微分方程式になり、その解が Laguerre 多項式の $W_n$ である（共通例題①の $W_n$ の導出は 第5部第5章）。ここでは $W_0=\frac{1}{\pi\hbar}\mathrm{e}^{-2H/(\hbar\omega)}$ が解であることだけ確かめる。$\partial_p^2\mathrm{e}^{-2H/(\hbar\omega)}=\bigl(4p^2/(m^2\hbar^2\omega^2)-2/(m\hbar\omega)\bigr)\mathrm{e}^{-2H/(\hbar\omega)}$ と、$x$ についての同様の式を入れると、括弧の中は $H-\frac{\hbar^2}{8}\bigl(\frac{8H}{\hbar^2}-\frac{4}{\hbar\omega}\bigr)=\frac{\hbar\omega}{2}$ となり、$H\star W_0=\frac{\hbar\omega}{2}W_0$ を得る。

純粋状態の条件 $\hat\rho^2=\hat\rho$ は、記号に写すと $\rho_W\star\rho_W=\rho_W$、$W=\rho_W/(2\pi\hbar)$ で書けば

$$W\star W=\frac{1}{2\pi\hbar}W\tag{5.3.14}$$

である。両辺を積分すると、命題 5.3.3 (iii) から前の章の純粋度の式 $2\pi\hbar\int W^2=1$ が出る。$W_0$ について (5.3.14) が成り立つことは、上の積分の形で数値で確かめた（verify_ch5-03.py）。Gauss 関数どうしの $\star$ 積は級数 (5.3.4) が収束しないので、積分の形が要る例である。

Bloch 方程式

熱平衡の密度行列は $\hat\rho=\mathrm{e}^{-\beta\hat H}/Z$ である（第4部第4章）。規格化していない $\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ の記号を $\Omega(x,p;\beta)$ と書くと、$\partial_\beta\mathrm{e}^{-\beta\hat H}=-\hat H\mathrm{e}^{-\beta\hat H}=-\mathrm{e}^{-\beta\hat H}\hat H$ から

$$\frac{\partial \Omega}{\partial \beta}=-H\star\Omega=-\frac12\bigl(H\star\Omega+\Omega\star H\bigr),\qquad \Omega(x,p;0)=1\tag{5.3.15}$$

を得る（Bloch 方程式）。2つ目の形では $\star$ 積の $\hbar$ の奇数次の項が打ち消し合い、$\Omega$ の $\hbar$ 展開は偶数次だけになる。熱平衡の Wigner 関数は $W_\beta=\Omega/(2\pi\hbar Z)$、分配関数は $Z=\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat H}=\int\Omega\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p/(2\pi\hbar)$ である。

これは E. Wigner が 1932 年に求めた熱平衡の量子補正²2E. Wigner (1932), Phys. Rev. 40, 749–759.下の脚注へ閉じるで、$\chi$ は実数で $\hbar$ の奇数次の項は無い。$Z$ を求めるには $p$ で積分し、$\mathrm{e}^{-\beta p^2/(2m)}$ の重みで $p^2\to m/\beta$ と置き換えて$\chi\to-\beta^2V''/(12m)+\beta^3V'^2/(24m)$、さらに古典の位置分布での部分積分 $\langle V'' \rangle _{\mathrm{cl}}=\beta\langle V'^2 \rangle _{\mathrm{cl}}$ を使うと$Z=Z_{\mathrm{cl}}\bigl(1-\hbar^2\beta^3\langle V'^2 \rangle _{\mathrm{cl}}/(24m)\bigr)$ になる。これは 第5部第1章が Kirkwood の方法で出した式と同じである。Kirkwood の補正因子 $w$ には純虚数の $\hbar$ の1次の項 $w_1$ があったが、それは $\hat x$ を左・$\hat p$ を右に並べる標準の順序の記号を求めていたためで、Weyl 記号 $\Omega$ では対称化によって奇数次の項が消える。どちらも $p$ で積分すれば同じ $Z$ を与える。