橋：行列力学 ↔ 位相空間 ↔ 古典

量子力学の様々な構成方法　第5部 第3章 §5.3.6　★★★ 交換子 → Moyal 括弧 → Poisson 括弧の3段の橋。Heisenberg 方程式・Moyal 方程式・Liouville 方程式が同じ形で並ぶ

3つの言葉を並べる

計画の同値性の地図で、この章は「行列力学 ↔ 位相空間 ↔ 古典」の橋に当たる。第2部（第2部第3章）の Heisenberg 方程式、この部の Moyal 方程式、解析力学の Hamilton と Liouville の方程式を並べると表のようになる。

左の列と中の列は定理 5.3.2 と定理 5.3.5 で両向きに同値である。中の列と右の列は、$\hbar\to0$ の極限でつながる片向きの橋で、2次以下のハミルトニアンに限れば括弧と運動の行は厳密に一致する。熱平衡と固有状態の行は2次の $H$ でも一致しない。調和振動子の $\Omega$ は $\mathrm{e}^{-\beta H}$ と違い、固有状態は $\{H,\rho\}=0$ の解のうち $H\star W=EW$ を満たす離散的なものだけが許される。運動方程式が古典と一致しても、どの分布が状態として許されるか（前の章の正値性の条件）とエネルギーの量子化は量子のまま残る。

図 5.3.2　行列力学 ↔ 位相空間 ↔ 古典の橋。上の四角形が可換であること（演算子で掛けてから記号に写しても、記号に写してから $\star$ で掛けても同じ）が定理 5.3.2。下の破線が $\hbar\to0$ の片向きの橋。

授業での書き方との対応と、ほかの部との関係

学部の量子力学の授業では、期待値の時間変化を $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat A \rangle =\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\langle \left[\hat A,\,\hat H\right] \rangle$ と書き、$\hat A=\hat x,\hat p$ で Ehrenfest の定理$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat x \rangle =\langle \hat p \rangle /m$、$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat p \rangle =-\langle V'(\hat x) \rangle$ を導く。この章の言葉では、(5.3.9) から $\{\!\{x,H\}\!\}=p/m$、$\{\!\{p,H\}\!\}=-V'(x)$ が任意の $V$ で厳密に成り立つ（$x$ と $p$ は2回以上微分すると 0 なので）。量子と古典の違いは、Ehrenfest の式の右辺 $\langle V'(\hat x) \rangle$ が$V'(\langle \hat x \rangle )$ と違うことと、$W$ の時間発展そのものが (5.3.11) の $\hbar^2$ の項を持つことの2つに分かれる。

第10部（第10部第1章）は、Poisson 括弧を交換子に写す正準量子化の要請が3次以上の多項式で破れること（Groenewold–van Hove の定理）を示した。この章の言葉では、Weyl 量子化は Poisson 括弧ではなく Moyal 括弧を厳密に写す写像で、破れの大きさは (5.3.9) の $\hbar^2$ の項である。同じシンプレクティックな相空間から、$\star$ 積で関数の積を変形して量子力学を作る道（変形量子化）と、ヒルベルト空間を幾何で作る道（幾何学的量子化）の比較は第10部第6章で扱う。