量子力学の様々な構成方法 第5部 第4章 §5.4.2 ★★★ なぜ観測と矛盾しないか。確率はすべて非負の作用素との重なりで、相空間の小さな領域を測る測定は存在しない
確率はすべて非負の作用素との重なり
基準の公理では、測定の結果 k k k k k k E ^ k \hat E_k E ^ k Pr ( k ) = Tr ( ρ ^ E ^ k ) \Pr(k)=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat E_k) Pr ( k ) = Tr ( ρ ^ E ^ k ) E ^ k \hat E_k E ^ k 第1部第2章 の Q3）、一般の測定では0 ≤ E ^ k ≤ 1 0\le\hat E_k\le1 0 ≤ E ^ k ≤ 1 ∑ k E ^ k = 1 \sum_k\hat E_k=1 ∑ k E ^ k = 1 第4部第5章 の Kraus 表示）。E ^ k \hat E_k E ^ k ( E k ) W (E_k)_{\mathrm W} ( E k ) W 第5部第2章 のトレースの公式から
Pr ( k ) = Tr ( ρ ^ E ^ k ) = ∫ W ( x , p ) ( E k ) W ( x , p ) d x d p (5.4.6) \Pr(k)=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat E_k)=\int W(x,p)\,(E_k)_{\mathrm W}(x,p)\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p\tag{5.4.6} Pr ( k ) = Tr ( ρ ^ E ^ k ) = ∫ W ( x , p ) ( E k ) W ( x , p ) d x d p ( 5.4.6 )
となる。左辺は ρ ^ ≥ 0 \hat\rho\ge0 ρ ^ ≥ 0 E ^ k ≥ 0 \hat E_k\ge0 E ^ k ≥ 0 0 0 0 W W W ( E k ) W (E_k)_{\mathrm W} ( E k ) W W W W
古典の確率論では、事象 D D D ∫ D ρ c l \int_D\rho_{\mathrm{cl}} ∫ D ρ cl χ D \chi_D χ D D D D ∫ D W \int_DW ∫ D W χ D \chi_D χ D
例題 5.4.2 円板の指示関数を量子化した作用素 ★★★
オリジナル D a D_a D a { u < a } \{u<a\} { u < a } u = 2 H / ( ℏ ω ) u=2H/(\hbar\omega) u = 2 H / ( ℏ ω ) π ℏ a \pi\hbar a π ℏ a χ D a \chi_{D_a} χ D a χ ^ a = Q W [ χ D a ] \hat\chi_a=\mathcal Q_{\mathrm W}[\chi_{D_a}] χ ^ a = Q W [ χ D a ] 第5部第2章 ）。
(1) χ ^ a \hat\chi_a χ ^ a ∣ n ⟩ | n \rangle ∣ n ⟩ λ n ( a ) = ( − 1 ) n ∫ 0 a e − u L n ( 2 u ) d u \lambda_n(a)=(-1)^n\int_0^a\mathrm{e}^{-u}L_n(2u)\,\mathrm{d} u λ n ( a ) = ( − 1 ) n ∫ 0 a e − u L n ( 2 u ) d u (2) λ 0 ( a ) \lambda_0(a) λ 0 ( a ) λ 1 ( a ) \lambda_1(a) λ 1 ( a ) a = 1 / 2 a=1/2 a = 1/2 (3) χ ^ a \hat\chi_a χ ^ a a a a λ 1 \lambda_1 λ 1
解答 (1) χ D a \chi_{D_a} χ D a H H H n ^ \hat n n ^ n ^ \hat n n ^ χ ^ a \hat\chi_a χ ^ a ∣ n ⟩ | n \rangle ∣ n ⟩ (5.4.6) と同じトレースの公式で
λ n ( a ) = ⟨ n ∣ χ ^ a ∣ n ⟩ = ∫ χ D a W n d x d p = π ℏ ∫ 0 a ( − 1 ) n π ℏ e − u L n ( 2 u ) d u = ( − 1 ) n ∫ 0 a e − u L n ( 2 u ) d u . \lambda_n(a)=\langle n | \hat\chi_a | n \rangle =\int\chi_{D_a}W_n\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=\pi\hbar\int_0^a\frac{(-1)^n}{\pi\hbar}\mathrm{e}^{-u}L_n(2u)\,\mathrm{d} u
=(-1)^n\int_0^a\mathrm{e}^{-u}L_n(2u)\,\mathrm{d} u . λ n ( a ) = ⟨ n ∣ χ ^ a ∣ n ⟩ = ∫ χ D a W n d x d p = π ℏ ∫ 0 a π ℏ ( − 1 ) n e − u L n ( 2 u ) d u = ( − 1 ) n ∫ 0 a e − u L n ( 2 u ) d u .
(2) L 0 = 1 L_0=1 L 0 = 1 λ 0 ( a ) = 1 − e − a \lambda_0(a)=1-\mathrm{e}^{-a} λ 0 ( a ) = 1 − e − a L 1 ( 2 u ) = 1 − 2 u L_1(2u)=1-2u L 1 ( 2 u ) = 1 − 2 u 5.4.1 の原始関数から λ 1 ( a ) = 1 − e − a ( 1 + 2 a ) \lambda_1(a)=1-\mathrm{e}^{-a}(1+2a) λ 1 ( a ) = 1 − e − a ( 1 + 2 a ) a = 1 / 2 a=1/2 a = 1/2 λ 0 = 1 − e − 1 / 2 = 0.3935 \lambda_0=1-\mathrm{e}^{-1/2}=0.3935 λ 0 = 1 − e − 1/2 = 0.3935 λ 1 = 1 − 2 / e = − 0.2131 \lambda_1=1-2/\sqrt\mathrm{e}=-0.2131 λ 1 = 1 − 2/ e = − 0.2131
(3) λ 1 ( a ) < 0 \lambda_1(a)<0 λ 1 ( a ) < 0 e a < 1 + 2 a \mathrm{e}^{a}<1+2a e a < 1 + 2 a e a = 1 + 2 a \mathrm{e}^a=1+2a e a = 1 + 2 a a ∗ = 1.2564 a_*=1.2564 a ∗ = 1.2564 a a a π ℏ a ∗ = 0.628 × 2 π ℏ \pi\hbar a_*=0.628\times2\pi\hbar π ℏ a ∗ = 0.628 × 2 π ℏ χ ^ a \hat\chi_a χ ^ a χ ^ a \hat\chi_a χ ^ a 0 ≤ E ^ ≤ 1 0\le\hat E\le1 0 ≤ E ^ ≤ 1 D a D_a D a ∫ D a W \int_{D_a}W ∫ D a W χ ^ a \hat\chi_a χ ^ a
固有値を a a a 5.4.2 になる。λ 2 \lambda_2 λ 2 a = 1.71 a=1.71 a = 1.71 − 0.239 -0.239 − 0.239 λ 3 \lambda_3 λ 3 a = 3.15 a=3.15 a = 3.15 − 0.248 -0.248 − 0.248 n n n a → ∞ a\to\infty a → ∞ λ n → 1 \lambda_n\to1 λ n → 1 ∫ 0 ∞ e − u L n ( 2 u ) d u = ( 1 − 2 ) n = ( − 1 ) n \int_0^\infty\mathrm{e}^{-u}L_n(2u)\,\mathrm{d} u=(1-2)^n=(-1)^n ∫ 0 ∞ e − u L n ( 2 u ) d u = ( 1 − 2 ) n = ( − 1 ) n χ ^ a \hat\chi_a χ ^ a ∫ D a W \int_{D_a}W ∫ D a W 2 π ℏ 2\pi\hbar 2 π ℏ
図 5.4.2 楕円 u < a u<a u < a λ n ( a ) \lambda_n(a) λ n ( a ) n = 0 , 1 , 2 n=0,1,2 n = 0 , 1 , 2 n = 1 n=1 n = 1 a < 1.2564 a<1.2564 a < 1.2564 n = 2 n=2 n = 2 0.74 < a < 2.86 0.74<a<2.86 0.74 < a < 2.86 n n n a → ∞ a\to\infty a → ∞
ならせば負は消える
W W W 2 π ℏ 2\pi\hbar 2 π ℏ
命題 5.4.2（別の状態の W W W
ρ ^ \hat\rho ρ ^ σ ^ \hat\sigma σ ^ σ ^ \hat\sigma σ ^ ( x 0 , p 0 ) (x_0,p_0) ( x 0 , p 0 ) σ ^ x 0 , p 0 = D ^ σ ^ D ^ † \hat\sigma_{x_0,p_0}=\hat D\hat\sigma\hat D^\dagger σ ^ x 0 , p 0 = D ^ σ ^ D ^ †
W ˉ ( x 0 , p 0 ) = ∫ W ρ ^ ( x , p ) W σ ^ ( x − x 0 , p − p 0 ) d x d p = 1 2 π ℏ Tr ( ρ ^ σ ^ x 0 , p 0 ) ≥ 0 (5.4.7) \bar W(x_0,p_0)=\int W_{\hat\rho}(x,p)\,W_{\hat\sigma}(x-x_0,p-p_0)\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=\frac{1}{2\pi\hbar}\operatorname{Tr}\bigl(\hat\rho\,\hat\sigma_{x_0,p_0}\bigr)\ge0\tag{5.4.7} W ˉ ( x 0 , p 0 ) = ∫ W ρ ^ ( x , p ) W σ ^ ( x − x 0 , p − p 0 ) d x d p = 2 π ℏ 1 Tr ( ρ ^ σ ^ x 0 , p 0 ) ≥ 0 ( 5.4.7 )
で、∫ W ˉ d x 0 d p 0 = 1 \int\bar W\,\mathrm{d} x_0\,\mathrm{d} p_0=1 ∫ W ˉ d x 0 d p 0 = 1
証明 (W4)（第5部第1章 ）から W σ ^ ( x − x 0 , p − p 0 ) W_{\hat\sigma}(x-x_0,p-p_0) W σ ^ ( x − x 0 , p − p 0 ) σ ^ x 0 , p 0 \hat\sigma_{x_0,p_0} σ ^ x 0 , p 0 (5.4.3) を当てると等号が出て、ρ ^ ≥ 0 \hat\rho\ge0 ρ ^ ≥ 0 σ ^ x 0 , p 0 ≥ 0 \hat\sigma_{x_0,p_0}\ge0 σ ^ x 0 , p 0 ≥ 0 0 0 0 ∫ W σ ^ ( x − x 0 , p − p 0 ) d x 0 d p 0 = 1 \int W_{\hat\sigma}(x-x_0,p-p_0)\,\mathrm{d} x_0\,\mathrm{d} p_0=1 ∫ W σ ^ ( x − x 0 , p − p 0 ) d x 0 d p 0 = 1 ∫ W ρ ^ = 1 \int W_{\hat\rho}=1 ∫ W ρ ^ = 1
σ ^ \hat\sigma σ ^ ∣ 0 ⟩ | 0 \rangle ∣0 ⟩ W 0 = 1 π ℏ e − u W_0=\frac{1}{\pi\hbar}\mathrm{e}^{-u} W 0 = π ℏ 1 e − u σ x σ p = ℏ / 2 \sigma_x\sigma_p=\hbar/2 σ x σ p = ℏ/2 σ ^ x 0 , p 0 \hat\sigma_{x_0,p_0} σ ^ x 0 , p 0 ∣ α ⟩ ⟨ α ∣ | \alpha \rangle \langle \alpha | ∣ α ⟩ ⟨ α ∣ α = ( m ω x 0 + i p 0 / m ω ) / 2 ℏ \alpha=(\sqrt{m\omega}\,x_0+\mathrm{i} p_0/\sqrt{m\omega})/\sqrt{2\hbar} α = ( mω x 0 + i p 0 / mω ) / 2ℏ W ˉ = ∣ ⟨ α ∣ ψ ⟩ ∣ 2 / ( 2 π ℏ ) \bar W=\lvert \langle \alpha | \psi \rangle \rvert ^2/(2\pi\hbar) W ˉ = ∣⟨ α ∣ ψ ⟩ ∣ 2 / ( 2 π ℏ ) d 2 α = d x 0 d p 0 / ( 2 ℏ ) \mathrm{d}^2\alpha=\mathrm{d} x_0\,\mathrm{d} p_0/(2\hbar) d 2 α = d x 0 d p 0 / ( 2ℏ ) Q Q Q Q ( α ) = ⟨ α ∣ ρ ^ ∣ α ⟩ / π Q(\alpha)=\langle \alpha | \hat\rho | \alpha \rangle /\pi Q ( α ) = ⟨ α ∣ ρ ^ ∣ α ⟩ / π 第5部第6章 で光の状態の地図に使う。図 5.4.1 の実線は ∣ 1 ⟩ | 1 \rangle ∣1 ⟩ ⟨ α ∣ 1 ⟩ = e − ∣ α ∣ 2 / 2 α ∗ \langle \alpha | 1 \rangle =\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2/2}\alpha^* ⟨ α ∣1 ⟩ = e − ∣ α ∣ 2 /2 α ∗ W ˉ 1 = e − ∣ α ∣ 2 ∣ α ∣ 2 / ( 2 π ℏ ) \bar W_1=\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2}\lvert \alpha\rvert ^2/(2\pi\hbar) W ˉ 1 = e − ∣ α ∣ 2 ∣ α ∣ 2 / ( 2 π ℏ ) ℏ / 2 \hbar/2 ℏ/2 第5部第1章 の総合問題で、熱平衡の W W W ℏ 2 coth β ℏ ω 2 \frac\hbar2\coth\frac{\beta\hbar\omega}{2} 2 ℏ coth 2 β ℏ ω π ℏ \pi\hbar π ℏ W W W
この「ならした分布」は、実際の測定で得られる確率分布でもある。E. Arthurs と J. L. Kelly は、位置と運動量を別々の測定器に同時に結合し、両方の読みを1回の測定で得る模型を作った（E. Arthurs and J. L. Kelly (1965)、Bell Syst. Tech. J. 44 、725–729）。その読みの同時分布は、測定器の初期状態から決まる Gauss の窓で W W W (5.4.7) の形になり、位置と運動量の両方の分散に雑音が上乗せされる。位置と運動量を同時に読む測定は存在するが、その結果の分布は W W W W ˉ \bar W W ˉ W ˉ \bar W W ˉ
例題 5.4.3 ならした分布の原点の値 ★★
オリジナル 状態 ∣ 1 ⟩ | 1 \rangle ∣1 ⟩ W 0 W_0 W 0 W ˉ 1 \bar W_1 W ˉ 1 ℏ / 2 \hbar/2 ℏ/2 σ x 2 = ℏ / ( m ω ) \sigma_x^2=\hbar/(m\omega) σ x 2 = ℏ/ ( mω ) σ p 2 = m ℏ ω / 4 \sigma_p^2=m\hbar\omega/4 σ p 2 = m ℏ ω /4 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 )
解答 (5.4.7) の右辺の形を使う。基底状態の窓では σ ^ 0 , 0 = ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ \hat\sigma_{0,0}=| 0 \rangle \langle 0 | σ ^ 0 , 0 = ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ ∣ ⟨ 0 ∣ 1 ⟩ ∣ 2 = 0 \lvert \langle 0 | 1 \rangle \rvert ^2=0 ∣⟨ 0∣1 ⟩ ∣ 2 = 0 W ˉ 1 ( 0 , 0 ) = 0 \bar W_1(0,0)=0 W ˉ 1 ( 0 , 0 ) = 0 ∣ 0 ⟩ | 0 \rangle ∣0 ⟩ 2 \sqrt2 2 1 / 2 1/\sqrt2 1/ 2 ∣ ϕ ⟩ | \phi \rangle ∣ ϕ ⟩ ∣ 1 ⟩ | 1 \rangle ∣1 ⟩ 0 0 0 W ˉ ( 0 , 0 ) = 0 \bar W(0,0)=0 W ˉ ( 0 , 0 ) = 0 ∣ 1 ⟩ | 1 \rangle ∣1 ⟩ 0 0 0 W 1 ( 0 , 0 ) = − 1 / ( π ℏ ) W_1(0,0)=-1/(\pi\hbar) W 1 ( 0 , 0 ) = − 1/ ( π ℏ )
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
