量子力学の様々な構成方法 第5部 第4章 §5.4.3 ★★★ 負の値が「量子らしさ」の印になる根拠。純粋状態で W ≥ 0 は Gauss 波束と同値であることを証明する
第5部第1章 では、ずれてチャープした Gauss 波束の W W W
定理 5.4.3（Hudson の定理 ★★★）
規格化された波動関数 ψ \psi ψ W ψ ≥ 0 W_\psi\ge0 W ψ ≥ 0 ψ \psi ψ
ψ ( x ) = N exp ( − λ 2 x 2 + μ x ) , Re λ > 0 , μ ∈ C (5.4.8) \psi(x)=N\exp\Bigl(-\frac{\lambda}{2}x^2+\mu x\Bigr),\qquad \operatorname{Re}\lambda>0,\ \mu\in\mathbb{C}\tag{5.4.8} ψ ( x ) = N exp ( − 2 λ x 2 + μx ) , Re λ > 0 , μ ∈ C ( 5.4.8 )
の形（ずれてチャープした Gauss 波束）のときに限る。
この定理は R. L. Hudson が示した（R. L. Hudson (1974)、Rep. Math. Phys. 6 、249–252）。多自由度への拡張はA. J. E. M. Janssen による（A. J. E. M. Janssen (1984)、SIAM J. Math. Anal. 15 、170–176）。証明は、波動関数を正則関数に写す Bargmann 変換と、複素関数論の零点の議論からなる。この節では ℏ = m = ω = 1 \hbar=m=\omega=1 ℏ = m = ω = 1 x x x
Bargmann 変換
コヒーレント状態 ∣ α ⟩ | \alpha \rangle ∣ α ⟩ ⟨ x ∣ α ⟩ = π − 1 / 4 exp ( − x 2 / 2 + 2 α x − α 2 / 2 − ∣ α ∣ 2 / 2 ) \langle x | \alpha \rangle =\pi^{-1/4}\exp\bigl(-x^2/2+\sqrt2\,\alpha x-\alpha^2/2-\lvert \alpha\rvert ^2/2\bigr) ⟨ x ∣ α ⟩ = π − 1/4 exp ( − x 2 /2 + 2 α x − α 2 /2 − ∣ α ∣ 2 /2 ) 光学と量子エレクトロニクス 第31章 ）。これを使って、波動関数 ψ \psi ψ z z z
F ( z ) = π − 1 / 4 ∫ exp ( − x 2 2 + 2 z x − z 2 2 ) ψ ( x ) d x (5.4.9) F(z)=\pi^{-1/4}\int\exp\Bigl(-\frac{x^2}{2}+\sqrt2\,zx-\frac{z^2}{2}\Bigr)\psi(x)\,\mathrm{d} x\tag{5.4.9} F ( z ) = π − 1/4 ∫ exp ( − 2 x 2 + 2 z x − 2 z 2 ) ψ ( x ) d x ( 5.4.9 )
を対応させる。これを Bargmann 変換 と呼ぶ（V. Bargmann (1961)、Commun. Pure Appl. Math. 14 、187–214）。被積分関数は z z z x x x F F F
⟨ α ∣ ψ ⟩ = e − ∣ α ∣ 2 / 2 F ( α ∗ ) (5.4.10) \langle \alpha | \psi \rangle =\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2/2}F(\alpha^*)\tag{5.4.10} ⟨ α ∣ ψ ⟩ = e − ∣ α ∣ 2 /2 F ( α ∗ ) ( 5.4.10 )
の関係にある。∣ ⟨ α ∣ ψ ⟩ ∣ ≤ 1 \lvert \langle \alpha | \psi \rangle \rvert \le1 ∣⟨ α ∣ ψ ⟩∣ ≤ 1
∣ F ( z ) ∣ ≤ e ∣ z ∣ 2 / 2 (5.4.11) \lvert F(z)\rvert \le\mathrm{e}^{\lvert z\rvert ^2/2}\tag{5.4.11} ∣ F ( z )∣ ≤ e ∣ z ∣ 2 /2 ( 5.4.11 )
で、F F F ∣ z ∣ 2 \lvert z\rvert ^2 ∣ z ∣ 2 ∫ ∣ α ⟩ ⟨ α ∣ d 2 α / π = 1 \int| \alpha \rangle \langle \alpha |\,\mathrm{d}^2\alpha/\pi=1 ∫ ∣ α ⟩ ⟨ α ∣ d 2 α / π = 1
1 π ∫ ∣ F ( z ) ∣ 2 e − ∣ z ∣ 2 d 2 z = ∥ ψ ∥ 2 = 1 (5.4.12) \frac1\pi\int\lvert F(z)\rvert ^2\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert ^2}\,\mathrm{d}^2z=\lVert \psi\rVert ^2=1\tag{5.4.12} π 1 ∫ ∣ F ( z ) ∣ 2 e − ∣ z ∣ 2 d 2 z = ∥ ψ ∥ 2 = 1 ( 5.4.12 )
が成り立ち、F F F ψ \psi ψ ⟨ α ∣ ψ ⟩ \langle \alpha | \psi \rangle ⟨ α ∣ ψ ⟩ α \alpha α
例題 5.4.4 Gauss 波束と数状態の Bargmann 変換 ★★★
オリジナル
(1) ψ ( x ) = exp ( − λ x 2 / 2 + μ x ) \psi(x)=\exp(-\lambda x^2/2+\mu x) ψ ( x ) = exp ( − λ x 2 /2 + μx ) Re λ > 0 \operatorname{Re}\lambda>0 Re λ > 0 F ( z ) = C exp ( a z 2 + b z ) F(z)=C\exp(az^2+bz) F ( z ) = C exp ( a z 2 + b z ) a = 1 − λ 2 ( 1 + λ ) a=\frac{1-\lambda}{2(1+\lambda)} a = 2 ( 1 + λ ) 1 − λ b = 2 μ 1 + λ b=\frac{\sqrt2\,\mu}{1+\lambda} b = 1 + λ 2 μ (2) Re λ > 0 \operatorname{Re}\lambda>0 Re λ > 0 ∣ a ∣ < 1 / 2 \lvert a\rvert <1/2 ∣ a ∣ < 1/2 (3) 数状態 ∣ 1 ⟩ | 1 \rangle ∣1 ⟩ ψ 1 = π − 1 / 4 2 x e − x 2 / 2 \psi_1=\pi^{-1/4}\sqrt2\,x\,\mathrm{e}^{-x^2/2} ψ 1 = π − 1/4 2 x e − x 2 /2
解答 (1) (5.4.9) の指数は − 1 + λ 2 x 2 + ( 2 z + μ ) x − z 2 2 -\frac{1+\lambda}{2}x^2+(\sqrt2z+\mu)x-\frac{z^2}{2} − 2 1 + λ x 2 + ( 2 z + μ ) x − 2 z 2 Re ( 1 + λ ) > 0 \operatorname{Re}(1+\lambda)>0 Re ( 1 + λ ) > 0
F ( z ) = π − 1 / 4 2 π 1 + λ exp ( ( 2 z + μ ) 2 2 ( 1 + λ ) − z 2 2 ) . F(z)=\pi^{-1/4}\sqrt{\frac{2\pi}{1+\lambda}}\exp\Bigl(\frac{(\sqrt2z+\mu)^2}{2(1+\lambda)}-\frac{z^2}{2}\Bigr). F ( z ) = π − 1/4 1 + λ 2 π exp ( 2 ( 1 + λ ) ( 2 z + μ ) 2 − 2 z 2 ) .
指数の z 2 z^2 z 2 1 1 + λ − 1 2 = 1 − λ 2 ( 1 + λ ) = a \frac{1}{1+\lambda}-\frac12=\frac{1-\lambda}{2(1+\lambda)}=a 1 + λ 1 − 2 1 = 2 ( 1 + λ ) 1 − λ = a z z z 2 μ 1 + λ = b \frac{\sqrt2\mu}{1+\lambda}=b 1 + λ 2 μ = b
(2) λ = 1 − 2 a 1 + 2 a \lambda=\frac{1-2a}{1+2a} λ = 1 + 2 a 1 − 2 a ∣ a ∣ < 1 / 2 \lvert a\rvert <1/2 ∣ a ∣ < 1/2 Re λ = Re ( ( 1 − 2 a ) ( 1 + 2 a ∗ ) ) ∣ 1 + 2 a ∣ 2 = 1 − 4 ∣ a ∣ 2 ∣ 1 + 2 a ∣ 2 > 0 \operatorname{Re}\lambda=\frac{\operatorname{Re}\bigl((1-2a)(1+2a^*)\bigr)}{\lvert 1+2a\rvert ^2}=\frac{1-4\lvert a\rvert ^2}{\lvert 1+2a\rvert ^2}>0 Re λ = ∣ 1 + 2 a ∣ 2 Re ( ( 1 − 2 a ) ( 1 + 2 a ∗ ) ) = ∣ 1 + 2 a ∣ 2 1 − 4 ∣ a ∣ 2 > 0 Re λ > 0 \operatorname{Re}\lambda>0 Re λ > 0 1 − 4 ∣ a ∣ 2 > 0 1-4\lvert a\rvert ^2>0 1 − 4 ∣ a ∣ 2 > 0 λ ↦ a \lambda\mapsto a λ ↦ a 1 / 2 1/2 1/2 λ = 1 \lambda=1 λ = 1 a = 0 a=0 a = 0 a → 1 / 2 a\to1/2 a → 1/2 a → − 1 / 2 a\to-1/2 a → − 1/2
(3) 指数の部分は (1) で λ = 1 \lambda=1 λ = 1 μ = 0 \mu=0 μ = 0 x x x ∫ x e − x 2 + 2 z x d x = 2 z 2 π e z 2 / 2 \int x\,\mathrm{e}^{-x^2+\sqrt2zx}\mathrm{d} x=\frac{\sqrt2 z}{2}\sqrt\pi\,\mathrm{e}^{z^2/2} ∫ x e − x 2 + 2 z x d x = 2 2 z π e z 2 /2 F ( z ) = π − 1 / 2 2 ⋅ 2 z 2 π e z 2 / 2 e − z 2 / 2 = z F(z)=\pi^{-1/2}\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2z}{2}\sqrt\pi\,\mathrm{e}^{z^2/2}\mathrm{e}^{-z^2/2}=z F ( z ) = π − 1/2 2 ⋅ 2 2 z π e z 2 /2 e − z 2 /2 = z z = 0 z=0 z = 0 ∣ n ⟩ | n \rangle ∣ n ⟩ z n / n ! z^n/\sqrt{n!} z n / n ! n n n
証明
定理 5.4.3 の証明 (5.4.8) の形なら W ψ W_\psi W ψ 第5部第1章 の例題（チャープした波束の W W W
(i) F F F W ψ ≥ 0 W_\psi\ge0 W ψ ≥ 0 ∣ α ⟩ | \alpha \rangle ∣ α ⟩ W α W_\alpha W α (5.4.3) から ∣ ⟨ α ∣ ψ ⟩ ∣ 2 = 2 π ∫ W ψ W α d x d p \lvert \langle \alpha | \psi \rangle \rvert ^2=2\pi\int W_\psi W_\alpha\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p ∣⟨ α ∣ ψ ⟩ ∣ 2 = 2 π ∫ W ψ W α d x d p W ψ W_\psi W ψ ∫ W ψ = 1 \int W_\psi=1 ∫ W ψ = 1 α \alpha α ⟨ α ∣ ψ ⟩ ≠ 0 \langle \alpha | \psi \rangle \ne0 ⟨ α ∣ ψ ⟩ = 0 (5.4.10) から F F F 0 0 0
(ii) F = e g F=\mathrm{e}^{g} F = e g g g g 零点の無い整関数は F = e g F=\mathrm{e}^{g} F = e g g g g log F \log F log F (5.4.11) から Re g ( z ) = ln ∣ F ( z ) ∣ ≤ ∣ z ∣ 2 / 2 \operatorname{Re} g(z)=\ln\lvert F(z)\rvert \le\lvert z\rvert ^2/2 Re g ( z ) = ln ∣ F ( z )∣ ≤ ∣ z ∣ 2 /2 g g g 0 < r < R 0<r<R 0 < r < R max ∣ z ∣ = r ∣ g ∣ ≤ 2 r R − r max ∣ z ∣ = R Re g + R + r R − r ∣ g ( 0 ) ∣ \max_{\lvert z\rvert =r}\lvert g\rvert \le\frac{2r}{R-r}\max_{\lvert z\rvert =R}\operatorname{Re} g+\frac{R+r}{R-r}\lvert g(0)\rvert max ∣ z ∣ = r ∣ g ∣ ≤ R − r 2 r max ∣ z ∣ = R Re g + R − r R + r ∣ g ( 0 )∣ R = 2 r R=2r R = 2 r
max ∣ z ∣ = r ∣ g ( z ) ∣ ≤ 2 ⋅ ( 2 r ) 2 2 + 3 ∣ g ( 0 ) ∣ = 4 r 2 + 3 ∣ g ( 0 ) ∣ . \max_{\lvert z\rvert =r}\lvert g(z)\rvert \le2\cdot\frac{(2r)^2}{2}+3\lvert g(0)\rvert =4r^2+3\lvert g(0)\rvert . ∣ z ∣ = r max ∣ g ( z )∣ ≤ 2 ⋅ 2 ( 2 r ) 2 + 3 ∣ g ( 0 )∣ = 4 r 2 + 3 ∣ g ( 0 )∣ .
g ( z ) = ∑ k g k z k g(z)=\sum_kg_kz^k g ( z ) = ∑ k g k z k ∣ g k ∣ ≤ ( 4 r 2 + 3 ∣ g ( 0 ) ∣ ) / r k \lvert g_k\rvert \le(4r^2+3\lvert g(0)\rvert )/r^k ∣ g k ∣ ≤ ( 4 r 2 + 3 ∣ g ( 0 )∣) / r k r > 0 r>0 r > 0 k ≥ 3 k\ge3 k ≥ 3 r → ∞ r\to\infty r → ∞ 0 0 0 g k = 0 g_k=0 g k = 0 F ( z ) = exp ( c 0 + c 1 z + c 2 z 2 ) F(z)=\exp(c_0+c_1z+c_2z^2) F ( z ) = exp ( c 0 + c 1 z + c 2 z 2 )
(iii) ∣ c 2 ∣ < 1 / 2 \lvert c_2\rvert <1/2 ∣ c 2 ∣ < 1/2 c 2 = ∣ c 2 ∣ e − 2 i φ c_2=\lvert c_2\rvert \mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\varphi} c 2 = ∣ c 2 ∣ e − 2 i φ z = e i φ ( s + i v ) z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}(s+\mathrm{i} v) z = e i φ ( s + i v ) s , v s,v s , v 2 Re ( c 2 z 2 ) − ∣ z ∣ 2 = ( 2 ∣ c 2 ∣ − 1 ) s 2 − ( 2 ∣ c 2 ∣ + 1 ) v 2 2\operatorname{Re}(c_2z^2)-\lvert z\rvert ^2=(2\lvert c_2\rvert -1)s^2-(2\lvert c_2\rvert +1)v^2 2 Re ( c 2 z 2 ) − ∣ z ∣ 2 = ( 2 ∣ c 2 ∣ − 1 ) s 2 − ( 2 ∣ c 2 ∣ + 1 ) v 2 ∣ c 2 ∣ > 1 / 2 \lvert c_2\rvert >1/2 ∣ c 2 ∣ > 1/2 (5.4.11) が s → ∞ s\to\infty s → ∞ ∣ c 2 ∣ = 1 / 2 \lvert c_2\rvert =1/2 ∣ c 2 ∣ = 1/2 ∣ F ∣ 2 e − ∣ z ∣ 2 \lvert F\rvert ^2\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert ^2} ∣ F ∣ 2 e − ∣ z ∣ 2 s s s e ( 1次式 ) \mathrm{e}^{(\text{1次式})} e ( 1 次式 ) (5.4.12) の積分が s s s ∣ c 2 ∣ < 1 / 2 \lvert c_2\rvert <1/2 ∣ c 2 ∣ < 1/2
(iv) ψ \psi ψ 例題 5.4.4 (2) から、a = c 2 a=c_2 a = c 2 Re λ > 0 \operatorname{Re}\lambda>0 Re λ > 0 λ = 1 − 2 c 2 1 + 2 c 2 \lambda=\frac{1-2c_2}{1+2c_2} λ = 1 + 2 c 2 1 − 2 c 2 μ = c 1 ( 1 + λ ) / 2 \mu=c_1(1+\lambda)/\sqrt2 μ = c 1 ( 1 + λ ) / 2 (5.4.8) の Gauss 波束の Bargmann 変換は定数倍を除いて F F F ψ \psi ψ ψ \psi ψ
証明の要は (i) にある。W ≥ 0 W\ge0 W ≥ 0 ∣ n ⟩ | n \rangle ∣ n ⟩ z n / n ! z^n/\sqrt{n!} z n / n ! W n W_n W n 5.4.1 と整合する）。猫状態 ∣ α ⟩ + ∣ − α ⟩ | \alpha \rangle +| -\alpha \rangle ∣ α ⟩ + ∣ − α ⟩ cosh ( α z ) \cosh(\alpha z) cosh ( α z ) z = i π ( k + 1 2 ) / α z=\mathrm{i}\pi(k+\frac12)/\alpha z = i π ( k + 2 1 ) / α k k k
混合状態では成り立たない
Hudson の定理は純粋状態の定理で、混合状態には広がらない。例えば ρ ^ = 1 2 ( ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ + ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ ) \hat\rho=\frac12(| 0 \rangle \langle 0 |+| 1 \rangle \langle 1 |) ρ ^ = 2 1 ( ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ + ∣1 ⟩ ⟨ 1∣ )
1 2 ( W 0 + W 1 ) = 1 2 π ℏ e − u ( 1 − ( 1 − 2 u ) ) = 1 π ℏ u e − u ≥ 0 \frac12(W_0+W_1)=\frac{1}{2\pi\hbar}\mathrm{e}^{-u}\bigl(1-(1-2u)\bigr)=\frac{1}{\pi\hbar}\,u\,\mathrm{e}^{-u}\ge0 2 1 ( W 0 + W 1 ) = 2 π ℏ 1 e − u ( 1 − ( 1 − 2 u ) ) = π ℏ 1 u e − u ≥ 0
で至る所で非負だが、原点で 0 0 0 36 、62）。W ≥ 0 W\ge0 W ≥ 0 W W W
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
