量子力学の様々な構成方法 第5部 第4章 §5.4.4 ★★ W は「すべての 1次結合の分布を同時に持つ関数」の唯一の候補。量子の特性関数は Bochner の条件でなく、ねじった条件を満たす
すべての1次結合の分布を同時に持つ確率分布
古典の確率論では、2つの確率変数 ( X , P ) (X,P) ( X , P ) μ \mu μ a X + b P aX+bP a X + b P μ \mu μ a x ^ + b p ^ a\hat x+b\hat p a x ^ + b p ^ ( a , b ) (a,b) ( a , b ) P a , b P_{a,b} P a , b 第5部第2章 では、P a , b P_{a,b} P a , b W W W a x + b p = c o n s t ax+bp=\mathrm{const} a x + b p = const ( a , b ) (a,b) ( a , b ) P a , b P_{a,b} P a , b μ \mu μ
定理 5.4.4（同時分布があれば W W W
状態 ρ ^ \hat\rho ρ ^ R 2 \mathbb{R}^2 R 2 μ \mu μ a , b a,b a , b a X + b P aX+bP a X + b P a x ^ + b p ^ a\hat x+b\hat p a x ^ + b p ^ P a , b P_{a,b} P a , b μ \mu μ W ρ ^ W_{\hat\rho} W ρ ^ W ρ ^ W_{\hat\rho} W ρ ^ μ \mu μ
証明 μ \mu μ ϕ μ ( a , b ) = ∫ e i ( a x + b p ) / ℏ d μ \phi_\mu(a,b)=\int\mathrm{e}^{\mathrm{i}(ax+bp)/\hbar}\,\mathrm{d}\mu ϕ μ ( a , b ) = ∫ e i ( a x + b p ) /ℏ d μ a X + b P aX+bP a X + b P ∫ e i t d P a , b ( t ) \int\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}\,\mathrm{d} P_{a,b}(t) ∫ e i t d P a , b ( t ) a X + b P aX+bP a X + b P a x ^ + b p ^ a\hat x+b\hat p a x ^ + b p ^ ϕ μ ( a , b ) = Tr ( ρ ^ e i ( a x ^ + b p ^ ) / ℏ ) \phi_\mu(a,b)=\operatorname{Tr}\bigl(\hat\rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a\hat x+b\hat p)/\hbar}\bigr) ϕ μ ( a , b ) = Tr ( ρ ^ e i ( a x ^ + b p ^ ) /ℏ ) 第5部第2章 の量子の特性関数 χ ( a , b ) \chi(a,b) χ ( a , b ) χ ( a , b ) = ∫ W e i ( a x + b p ) / ℏ d x d p \chi(a,b)=\int W\mathrm{e}^{\mathrm{i}(ax+bp)/\hbar}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p χ ( a , b ) = ∫ W e i ( a x + b p ) /ℏ d x d p R 2 \mathbb{R}^2 R 2 μ = W d x d p \mu=W\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p μ = W d x d p μ \mu μ W ≥ 0 W\ge0 W ≥ 0
この証明の前半は、H. Cramér と H. Wold の定理（R n \mathbb{R}^n R n 11 、290–294）の証明そのものである。定理 5.4.4 は、Cramér–Wold の一意性の量子版といえる。W W W a x ^ + b p ^ a\hat x+b\hat p a x ^ + b p ^ 第9部第3章 ）と同じ型の主張で、交換しない物理量の値を1つの確率空間の上にそろえて置けないことを表している。R. W. Spekkens は、適切に一般化した意味での「負の値の必要性」と「文脈依存性」が同値であることを示した（R. W. Spekkens (2008)、Phys. Rev. Lett. 101 、020401）。
Bochner の条件と、ねじった条件
確率論では、関数 ϕ ( a , b ) \phi(a,b) ϕ ( a , b ) ϕ \phi ϕ ϕ ( 0 , 0 ) = 1 \phi(0,0)=1 ϕ ( 0 , 0 ) = 1 z 1 , … , z N z_1,\dots,z_N z 1 , … , z N z j = ( a j , b j ) z_j=(a_j,b_j) z j = ( a j , b j ) ( ϕ ( z k − z j ) ) j k \bigl(\phi(z_k-z_j)\bigr)_{jk} ( ϕ ( z k − z j ) ) j k
量子の特性関数 χ ( a , b ) = Tr ( ρ ^ T ^ ( a , b ) ) \chi(a,b)=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat T(a,b)) χ ( a , b ) = Tr ( ρ ^ T ^ ( a , b )) T ^ ( a , b ) = e i ( a x ^ + b p ^ ) / ℏ \hat T(a,b)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a\hat x+b\hat p)/\hbar} T ^ ( a , b ) = e i ( a x ^ + b p ^ ) /ℏ e A ^ e B ^ = e A ^ + B ^ e [ A ^ , B ^ ] / 2 \mathrm{e}^{\hat A}\mathrm{e}^{\hat B}=\mathrm{e}^{\hat A+\hat B}\mathrm{e}^{[\hat A,\hat B]/2} e A ^ e B ^ = e A ^ + B ^ e [ A ^ , B ^ ] /2 [ A ^ , B ^ ] [\hat A,\hat B] [ A ^ , B ^ ] [ a 1 x ^ + b 1 p ^ , a 2 x ^ + b 2 p ^ ] = i ℏ ( a 1 b 2 − b 1 a 2 ) [a_1\hat x+b_1\hat p,\,a_2\hat x+b_2\hat p]=\mathrm{i}\hbar(a_1b_2-b_1a_2) [ a 1 x ^ + b 1 p ^ , a 2 x ^ + b 2 p ^ ] = i ℏ ( a 1 b 2 − b 1 a 2 )
T ^ ( z 1 ) T ^ ( z 2 ) = T ^ ( z 1 + z 2 ) e − i ( a 1 b 2 − b 1 a 2 ) / ( 2 ℏ ) . (5.4.13) \hat T(z_1)\hat T(z_2)=\hat T(z_1+z_2)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(a_1b_2-b_1a_2)/(2\hbar)} .\tag{5.4.13} T ^ ( z 1 ) T ^ ( z 2 ) = T ^ ( z 1 + z 2 ) e − i ( a 1 b 2 − b 1 a 2 ) / ( 2ℏ ) . ( 5.4.13 )
任意の複素数 c k c_k c k A ^ = ∑ k c k T ^ ( z k ) \hat A=\sum_kc_k\hat T(z_k) A ^ = ∑ k c k T ^ ( z k ) Tr ( ρ ^ A ^ † A ^ ) ≥ 0 \operatorname{Tr}(\hat\rho\hat A^\dagger\hat A)\ge0 Tr ( ρ ^ A ^ † A ^ ) ≥ 0 T ^ ( z ) † = T ^ ( − z ) \hat T(z)^\dagger=\hat T(-z) T ^ ( z ) † = T ^ ( − z ) (5.4.13) を使えば
∑ j , k c j ∗ c k M j k ≥ 0 , M j k = χ ( z k − z j ) e i ( a j b k − b j a k ) / ( 2 ℏ ) (5.4.14) \sum_{j,k}c_j^*c_k\,M_{jk}\ge0,\qquad M_{jk}=\chi(z_k-z_j)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a_jb_k-b_ja_k)/(2\hbar)}\tag{5.4.14} j , k ∑ c j ∗ c k M j k ≥ 0 , M j k = χ ( z k − z j ) e i ( a j b k − b j a k ) / ( 2ℏ ) ( 5.4.14 )
となる。行列 M M M χ ( 0 , 0 ) = 1 \chi(0,0)=1 χ ( 0 , 0 ) = 1 (5.4.14) を満たせば、それはある状態の特性関数になる。この「量子の Bochner の定理」は D. Kastler と、G. Loupias・S. Miracle-Sole が示した（D. Kastler (1965)、Commun. Math. Phys. 1 、14–48。G. Loupias and S. Miracle-Sole (1966)、Commun. Math. Phys. 2 、31–48）。
まとめると、W W W χ \chi χ W W W χ \chi χ 第5部第2章 の例題で見た「幅の積が ℏ / 2 \hbar/2 ℏ/2 W 1 W_1 W 1
例題 5.4.5 狭すぎる Gauss 関数はねじった条件を破る ★★
オリジナル ℏ = 1 \hbar=1 ℏ = 1 σ x = σ p = 1 / 2 \sigma_x=\sigma_p=1/2 σ x = σ p = 1/2 1 / 4 1/4 1/4 χ ( a , b ) = exp ( − ( a 2 σ x 2 + b 2 σ p 2 ) / 2 ) \chi(a,b)=\exp\bigl(-(a^2\sigma_x^2+b^2\sigma_p^2)/2\bigr) χ ( a , b ) = exp ( − ( a 2 σ x 2 + b 2 σ p 2 ) /2 ) z 1 = ( 0 , 0 ) z_1=(0,0) z 1 = ( 0 , 0 ) z 2 = ( 2 , 0 ) z_2=(2,0) z 2 = ( 2 , 0 ) z 3 = ( 0 , 2 ) z_3=(0,2) z 3 = ( 0 , 2 ) z 4 = ( 2 , 2 ) z_4=(2,2) z 4 = ( 2 , 2 ) (5.4.14) を書き、最小固有値を比べよ。
解答 差の長さが2の組では χ = e − ( 4 / 4 ) / 2 = e − 1 / 2 \chi=\mathrm{e}^{-(4/4)/2}=\mathrm{e}^{-1/2} χ = e − ( 4/4 ) /2 = e − 1/2 χ = e − 1 \chi=\mathrm{e}^{-1} χ = e − 1 ( a j b k − b j a k ) / 2 (a_jb_k-b_ja_k)/2 ( a j b k − b j a k ) /2 z 1 z_1 z 1 0 0 0 ( j , k ) = ( 2 , 3 ) (j,k)=(2,3) ( j , k ) = ( 2 , 3 ) ( 2 , 4 ) (2,4) ( 2 , 4 ) 2 2 2 ( 3 , 4 ) (3,4) ( 3 , 4 ) − 2 -2 − 2
M = ( 1 e − 1 / 2 e − 1 / 2 e − 1 e − 1 / 2 1 e − 1 e 2 i e − 1 / 2 e 2 i e − 1 / 2 e − 1 e − 2 i 1 e − 1 / 2 e − 2 i e − 1 e − 1 / 2 e − 2 i e − 1 / 2 e 2 i 1 ) . M=\begin{pmatrix}
1&\mathrm{e}^{-1/2}&\mathrm{e}^{-1/2}&\mathrm{e}^{-1}\\
\mathrm{e}^{-1/2}&1&\mathrm{e}^{-1}\mathrm{e}^{2\mathrm{i}}&\mathrm{e}^{-1/2}\mathrm{e}^{2\mathrm{i}}\\
\mathrm{e}^{-1/2}&\mathrm{e}^{-1}\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}}&1&\mathrm{e}^{-1/2}\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}}\\
\mathrm{e}^{-1}&\mathrm{e}^{-1/2}\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}}&\mathrm{e}^{-1/2}\mathrm{e}^{2\mathrm{i}}&1
\end{pmatrix}. M = 1 e − 1/2 e − 1/2 e − 1 e − 1/2 1 e − 1 e − 2 i e − 1/2 e − 2 i e − 1/2 e − 1 e 2 i 1 e − 1/2 e 2 i e − 1 e − 1/2 e 2 i e − 1/2 e − 2 i 1 .
位相を全部 1 1 1 0.155 > 0 0.155>0 0.155 > 0 − 0.389 < 0 -0.389<0 − 0.389 < 0 (5.4.14) が破れる。したがってこの χ \chi χ 1 / 2 1/2 1/2 χ \chi χ
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
