量子力学の様々な構成方法 第8部 第4章 §8.4.1 ★★★ Gibbs 状態は「A A A B B B β ℏ \beta\hbar β ℏ
前の章（第8部第3章 ）の最後で、共通例題①の振動子を無限個並べ、全部を同じ温度にした積状態が Fock 表現のどの密度行列でも書けないことを見た。熱平衡状態を ρ ^ = e − β H ^ / Z \hat\rho=\mathrm{e}^{-\beta\hat H}/Z ρ ^ = e − β H ^ / Z 第4部第4章 ）は、自由度が無限になると使えない。Tr e − β H ^ \operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat H} Tr e − β H ^
出発点に置くのは、観測量の代数 A \mathfrak A A α t \alpha_t α t ω \omega ω 第8部第1章 の要請）。熱平衡の条件は、2つの観測量の時間相関について「A A A B B B β ℏ \beta\hbar β ℏ 1 1 R. Kubo (1957), J. Phys. Soc. Jpn. 12 , 570；P. C. Martin and J. Schwinger (1959), Phys. Rev. 115 , 1342；R. Haag, N. M. Hugenholtz and M. Winnink (1967), Commun. Math. Phys. 5 , 215.
章の流れは次のとおりである。第8.4.1節で、有限次元の Gibbs 状態から KMS の関係を導き、逆に KMS の関係を満たす状態は Gibbs 状態しかないことを証明する。第8.4.2 節で KMS 条件を一般の C*代数で定義し、時間不変性と振動数の詳細つり合いを導く。第8.4.3 節で共通例題①の熱平衡を KMS 状態として書き直す。第8.4.4 節で無限に長いスピン鎖へ移り、温度の違う熱平衡が別の表現に住むことを示す。第8.4.5 節で相転移を「KMS 状態が複数あること」と定義し、自発的対称性の破れが表現の選択として書けることを平均場の模型で確かめる。第8.4.6 節が橋の節で、密度行列・虚時間の経路積分・第二量子化の占有数との対応を並べる。
記号は前の章までと同じで、代数の上の状態を ω \omega ω ξ ω \xi_\omega ξ ω ω \omega ω 8.4.3 節と第8.4.6 節では、第8部第2章の第5節と同じく状態を φ \varphi φ H ^ = − ( ℏ Δ / 2 ) σ z − ( ℏ Ω / 2 ) σ x \hat H=-(\hbar\Delta/2)\sigma_z-(\hbar\Omega/2)\sigma_x H ^ = − ( ℏΔ/2 ) σ z − ( ℏΩ/2 ) σ x Ω ′ = Ω 2 + Δ 2 \Omega'=\sqrt{\Omega^2+\Delta^2} Ω ′ = Ω 2 + Δ 2
Gibbs 状態の巡回性から出る関係
有限次元のヒルベルト空間 C n \mathbb{C}^n C n H ^ \hat H H ^ ρ ^ β = e − β H ^ / Z \hat\rho_\beta=\mathrm{e}^{-\beta\hat H}/Z ρ ^ β = e − β H ^ / Z Z = Tr e − β H ^ Z=\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat H} Z = Tr e − β H ^ M n ( C ) M_n(\mathbb{C}) M n ( C )
ω β ( A ) = Tr ( e − β H ^ A ) Z ( A ∈ M n ( C ) ) (8.4.1) \omega_\beta(A)=\frac{\operatorname{Tr}\bigl(\mathrm{e}^{-\beta\hat H}A\bigr)}{Z}\qquad(A\in M_n(\mathbb{C}))\tag{8.4.1} ω β ( A ) = Z Tr ( e − β H ^ A ) ( A ∈ M n ( C )) ( 8.4.1 )
と書く。時間発展は Heisenberg 描像の α t ( A ) = e i H ^ t / ℏ A e − i H ^ t / ℏ \alpha_t(A)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} α t ( A ) = e i H ^ t /ℏ A e − i H ^ t /ℏ e i H ^ z / ℏ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Hz/\hbar} e i H ^ z /ℏ z z z α z ( A ) = e i H ^ z / ℏ A e − i H ^ z / ℏ \alpha_z(A)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Hz/\hbar}A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Hz/\hbar} α z ( A ) = e i H ^ z /ℏ A e − i H ^ z /ℏ z = i β ℏ z=\mathrm{i}\beta\hbar z = i β ℏ
α i β ℏ ( B ) = e − β H ^ B e β H ^ (8.4.2) \alpha_{\mathrm{i}\beta\hbar}(B)=\mathrm{e}^{-\beta\hat H}B\,\mathrm{e}^{\beta\hat H}\tag{8.4.2} α i β ℏ ( B ) = e − β H ^ B e β H ^ ( 8.4.2 )
で、Boltzmann 因子 e − β H ^ \mathrm{e}^{-\beta\hat H} e − β H ^ Tr ( X Y ) = Tr ( Y X ) \operatorname{Tr}(XY)=\operatorname{Tr}(YX) Tr ( X Y ) = Tr ( Y X )
ω β ( A α i β ℏ ( B ) ) = 1 Z Tr ( e − β H ^ A e − β H ^ B e β H ^ ) = 1 Z Tr ( e β H ^ e − β H ^ A e − β H ^ B ) = 1 Z Tr ( e − β H ^ B A ) \omega_\beta\bigl(A\,\alpha_{\mathrm{i}\beta\hbar}(B)\bigr)=\frac1Z\operatorname{Tr}\bigl(\mathrm{e}^{-\beta\hat H}A\,\mathrm{e}^{-\beta\hat H}B\,\mathrm{e}^{\beta\hat H}\bigr)
=\frac1Z\operatorname{Tr}\bigl(\mathrm{e}^{\beta\hat H}\mathrm{e}^{-\beta\hat H}A\,\mathrm{e}^{-\beta\hat H}B\bigr)=\frac1Z\operatorname{Tr}\bigl(\mathrm{e}^{-\beta\hat H}BA\bigr) ω β ( A α i β ℏ ( B ) ) = Z 1 Tr ( e − β H ^ A e − β H ^ B e β H ^ ) = Z 1 Tr ( e β H ^ e − β H ^ A e − β H ^ B ) = Z 1 Tr ( e − β H ^ B A )
となる。2つ目の等号では、最後の e β H ^ \mathrm{e}^{\beta\hat H} e β H ^
ω β ( A α i β ℏ ( B ) ) = ω β ( B A ) ( A , B ∈ M n ( C ) ) (8.4.3) \omega_\beta\bigl(A\,\alpha_{\mathrm{i}\beta\hbar}(B)\bigr)=\omega_\beta(BA)\qquad(A,B\in M_n(\mathbb{C}))\tag{8.4.3} ω β ( A α i β ℏ ( B ) ) = ω β ( B A ) ( A , B ∈ M n ( C )) ( 8.4.3 )
である。左辺では A A A B B B B B B ω ( A B ) \omega(AB) ω ( A B ) ω ( B A ) \omega(BA) ω ( B A ) (8.4.3) は、熱平衡状態ではその違いがハミルトニアンと温度だけで決まることを述べている。
B B B α t ( B ) \alpha_t(B) α t ( B ) α i β ℏ ( α t ( B ) ) = α t + i β ℏ ( B ) \alpha_{\mathrm{i}\beta\hbar}(\alpha_t(B))=\alpha_{t+\mathrm{i}\beta\hbar}(B) α i β ℏ ( α t ( B )) = α t + i β ℏ ( B )
F A B ( t ) ≔ ω β ( A α t ( B ) ) , F A B ( t + i β ℏ ) = ω β ( α t ( B ) A ) (8.4.4) F_{AB}(t)\coloneqq\omega_\beta\bigl(A\,\alpha_t(B)\bigr),\qquad F_{AB}(t+\mathrm{i}\beta\hbar)=\omega_\beta\bigl(\alpha_t(B)A\bigr)\tag{8.4.4} F A B ( t ) : = ω β ( A α t ( B ) ) , F A B ( t + i β ℏ ) = ω β ( α t ( B ) A ) ( 8.4.4 )
が成り立つ。左側は「B B B t t t A A A 0 0 0 F A B F_{AB} F A B t t t Im t = β ℏ \operatorname{Im} t=\beta\hbar Im t = β ℏ 8.4.2 節ではこの形を定義に採る。
逆向き：KMS の関係を満たす状態は Gibbs 状態だけ
定理 8.4.1（有限次元の KMS 状態は Gibbs 状態 ★★★）
H ^ \hat H H ^ n × n n\times n n × n β > 0 \beta>0 β > 0 M n ( C ) M_n(\mathbb{C}) M n ( C ) ω \omega ω
(i) すべての A , B ∈ M n ( C ) A,B\in M_n(\mathbb{C}) A , B ∈ M n ( C ) ω ( A α i β ℏ ( B ) ) = ω ( B A ) \omega\bigl(A\,\alpha_{\mathrm{i}\beta\hbar}(B)\bigr)=\omega(BA) ω ( A α i β ℏ ( B ) ) = ω ( B A ) (ii) ω = ω β \omega=\omega_\beta ω = ω β ω ( A ) = Tr ( e − β H ^ A ) / Z \omega(A)=\operatorname{Tr}(\mathrm{e}^{-\beta\hat H}A)/Z ω ( A ) = Tr ( e − β H ^ A ) / Z
証明 (ii)⇒ \Rightarrow ⇒ (8.4.3) である。(i)⇒ \Rightarrow ⇒ 第8部第1章 ）により、M n ( C ) M_n(\mathbb{C}) M n ( C ) ρ ^ \hat\rho ρ ^ Tr ρ ^ = 1 \operatorname{Tr}\hat\rho=1 Tr ρ ^ = 1 ω ( A ) = Tr ( ρ ^ A ) \omega(A)=\operatorname{Tr}(\hat\rho A) ω ( A ) = Tr ( ρ ^ A )
Tr ( ρ ^ A e − β H ^ B e β H ^ ) = Tr ( ρ ^ B A ) = Tr ( A ρ ^ B ) \operatorname{Tr}\bigl(\hat\rho A\,\mathrm{e}^{-\beta\hat H}B\,\mathrm{e}^{\beta\hat H}\bigr)=\operatorname{Tr}(\hat\rho BA)=\operatorname{Tr}(A\hat\rho B) Tr ( ρ ^ A e − β H ^ B e β H ^ ) = Tr ( ρ ^ B A ) = Tr ( A ρ ^ B )
である。左辺を巡回させて Tr ( e β H ^ ρ ^ A e − β H ^ B ) \operatorname{Tr}\bigl(\mathrm{e}^{\beta\hat H}\hat\rho A\,\mathrm{e}^{-\beta\hat H}B\bigr) Tr ( e β H ^ ρ ^ A e − β H ^ B ) B B B Tr ( A ρ ^ B ) \operatorname{Tr}(A\hat\rho B) Tr ( A ρ ^ B ) e β H ^ ρ ^ A e − β H ^ = A ρ ^ \mathrm{e}^{\beta\hat H}\hat\rho A\,\mathrm{e}^{-\beta\hat H}=A\hat\rho e β H ^ ρ ^ A e − β H ^ = A ρ ^ A A A B B B ∣ j ⟩ ⟨ i ∣ | j \rangle \langle i | ∣ j ⟩ ⟨ i ∣ X ^ ≔ e β H ^ ρ ^ \hat X\coloneqq\mathrm{e}^{\beta\hat H}\hat\rho X ^ : = e β H ^ ρ ^ ρ ^ = e − β H ^ X ^ \hat\rho=\mathrm{e}^{-\beta\hat H}\hat X ρ ^ = e − β H ^ X ^ X ^ A e − β H ^ = A e − β H ^ X ^ \hat XA\,\mathrm{e}^{-\beta\hat H}=A\,\mathrm{e}^{-\beta\hat H}\hat X X ^ A e − β H ^ = A e − β H ^ X ^ e − β H ^ \mathrm{e}^{-\beta\hat H} e − β H ^ C ≔ A e − β H ^ C\coloneqq A\mathrm{e}^{-\beta\hat H} C : = A e − β H ^ A A A M n ( C ) M_n(\mathbb{C}) M n ( C ) X ^ C = C X ^ \hat XC=C\hat X X ^ C = C X ^ C C C X ^ = c 1 \hat X=c\,1 X ^ = c 1 ρ ^ = c e − β H ^ \hat\rho=c\,\mathrm{e}^{-\beta\hat H} ρ ^ = c e − β H ^ Tr ρ ^ = 1 \operatorname{Tr}\hat\rho=1 Tr ρ ^ = 1 c = 1 / Z c=1/Z c = 1/ Z
この定理が、基準（第4部の密度行列）と代数（第8部）の熱平衡を結ぶ両向きの橋である。(ii)⇒ \Rightarrow ⇒ ⇒ \Rightarrow ⇒ M n ( C ) M_n(\mathbb{C}) M n ( C ) M n ( C ) M_n(\mathbb{C}) M n ( C ) 8.4.5 節の相転移の入口になる。
もう1つ注意しておくと、(i) にはどこにも Z Z Z Tr \operatorname{Tr} Tr ω \omega ω α \alpha α β \beta β
例題 8.4.1 量子ビットの熱平衡を KMS の関係だけで決める ★★★
オリジナル 共通例題②の2準位系で Ω : Δ = 3 : 4 \Omega:\Delta=3:4 Ω : Δ = 3 : 4 β ℏ Ω ′ / 2 = ln 3 \beta\hbar\Omega'/2=\ln3 β ℏ Ω ′ /2 = ln 3 第8部第1章 の総合問題と同じ値）。H ^ \hat H H ^ ∣ g ′ ⟩ | g' \rangle ∣ g ′ ⟩ ∣ e ′ ⟩ | e' \rangle ∣ e ′ ⟩ ℏ Ω ′ \hbar\Omega' ℏ Ω ′
(1) α i β ℏ ( ∣ e ′ ⟩ ⟨ g ′ ∣ ) \alpha_{\mathrm{i}\beta\hbar}\bigl(| e' \rangle \langle g' |\bigr) α i β ℏ ( ∣ e ′ ⟩ ⟨ g ′ ∣ ) (2) (8.4.3) に A = ∣ g ′ ⟩ ⟨ e ′ ∣ A=| g' \rangle \langle e' | A = ∣ g ′ ⟩ ⟨ e ′ ∣ B = ∣ e ′ ⟩ ⟨ g ′ ∣ B=| e' \rangle \langle g' | B = ∣ e ′ ⟩ ⟨ g ′ ∣ p e ′ / p g ′ p_{e'}/p_{g'} p e ′ / p g ′ p g ′ p_{g'} p g ′ p e ′ p_{e'} p e ′ (3) 状態の Bloch ベクトル r = ( ω ( σ x ) , ω ( σ y ) , ω ( σ z ) ) \bm{r}=(\omega(\sigma_x),\omega(\sigma_y),\omega(\sigma_z)) r = ( ω ( σ x ) , ω ( σ y ) , ω ( σ z ))
解答 (1) e − β H ^ ∣ e ′ ⟩ = e − β E e ′ ∣ e ′ ⟩ \mathrm{e}^{-\beta\hat H}| e' \rangle =\mathrm{e}^{-\beta E_{e'}}| e' \rangle e − β H ^ ∣ e ′ ⟩ = e − β E e ′ ∣ e ′ ⟩ ⟨ g ′ ∣ e β H ^ = e β E g ′ ⟨ g ′ ∣ \langle g' |\mathrm{e}^{\beta\hat H}=\mathrm{e}^{\beta E_{g'}}\langle g' | ⟨ g ′ ∣ e β H ^ = e β E g ′ ⟨ g ′ ∣ (8.4.2) から
α i β ℏ ( ∣ e ′ ⟩ ⟨ g ′ ∣ ) = e − β ( E e ′ − E g ′ ) ∣ e ′ ⟩ ⟨ g ′ ∣ = e − β ℏ Ω ′ ∣ e ′ ⟩ ⟨ g ′ ∣ = 1 9 ∣ e ′ ⟩ ⟨ g ′ ∣ . \alpha_{\mathrm{i}\beta\hbar}\bigl(| e' \rangle \langle g' |\bigr)=\mathrm{e}^{-\beta(E_{e'}-E_{g'})}| e' \rangle \langle g' |=\mathrm{e}^{-\beta\hbar\Omega'}| e' \rangle \langle g' |=\tfrac19| e' \rangle \langle g' |. α i β ℏ ( ∣ e ′ ⟩ ⟨ g ′ ∣ ) = e − β ( E e ′ − E g ′ ) ∣ e ′ ⟩ ⟨ g ′ ∣ = e − β ℏ Ω ′ ∣ e ′ ⟩ ⟨ g ′ ∣ = 9 1 ∣ e ′ ⟩ ⟨ g ′ ∣.
β ℏ Ω ′ = 2 ln 3 \beta\hbar\Omega'=2\ln3 β ℏ Ω ′ = 2 ln 3 e − β ℏ Ω ′ = 1 / 9 \mathrm{e}^{-\beta\hbar\Omega'}=1/9 e − β ℏ Ω ′ = 1/9
(2) 左辺は ω ( ∣ g ′ ⟩ ⟨ e ′ ∣ ⋅ 1 9 ∣ e ′ ⟩ ⟨ g ′ ∣ ) = 1 9 ω ( ∣ g ′ ⟩ ⟨ g ′ ∣ ) = 1 9 p g ′ \omega\bigl(| g' \rangle \langle e' |\cdot\tfrac19| e' \rangle \langle g' |\bigr)=\tfrac19\,\omega(| g' \rangle \langle g' |)=\tfrac19p_{g'} ω ( ∣ g ′ ⟩ ⟨ e ′ ∣ ⋅ 9 1 ∣ e ′ ⟩ ⟨ g ′ ∣ ) = 9 1 ω ( ∣ g ′ ⟩ ⟨ g ′ ∣ ) = 9 1 p g ′ ω ( ∣ e ′ ⟩ ⟨ g ′ ∣ ∣ g ′ ⟩ ⟨ e ′ ∣ ) = ω ( ∣ e ′ ⟩ ⟨ e ′ ∣ ) = p e ′ \omega\bigl(| e' \rangle \langle g' |\,| g' \rangle \langle e' |\bigr)=\omega(| e' \rangle \langle e' |)=p_{e'} ω ( ∣ e ′ ⟩ ⟨ g ′ ∣ ∣ g ′ ⟩ ⟨ e ′ ∣ ) = ω ( ∣ e ′ ⟩ ⟨ e ′ ∣ ) = p e ′ p e ′ / p g ′ = 1 / 9 p_{e'}/p_{g'}=1/9 p e ′ / p g ′ = 1/9 p g ′ + p e ′ = 1 p_{g'}+p_{e'}=1 p g ′ + p e ′ = 1 p g ′ = 0.9 p_{g'}=0.9 p g ′ = 0.9 p e ′ = 0.1 p_{e'}=0.1 p e ′ = 0.1 A = ∣ g ′ ⟩ ⟨ g ′ ∣ A=| g' \rangle \langle g' | A = ∣ g ′ ⟩ ⟨ g ′ ∣ B = ∣ g ′ ⟩ ⟨ e ′ ∣ B=| g' \rangle \langle e' | B = ∣ g ′ ⟩ ⟨ e ′ ∣ ω ( ∣ g ′ ⟩ ⟨ e ′ ∣ ) = 0 \omega(| g' \rangle \langle e' |)=0 ω ( ∣ g ′ ⟩ ⟨ e ′ ∣ ) = 0
(3) H ^ = − ( ℏ Ω ′ / 2 ) n ⋅ σ \hat H=-(\hbar\Omega'/2)\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma} H ^ = − ( ℏ Ω ′ /2 ) n ⋅ σ n = ( Ω , 0 , Δ ) / Ω ′ = ( 0.6 , 0 , 0.8 ) \bm{n}=(\Omega,0,\Delta)/\Omega'=(0.6,0,0.8) n = ( Ω , 0 , Δ ) / Ω ′ = ( 0.6 , 0 , 0.8 ) ∣ g ′ ⟩ | g' \rangle ∣ g ′ ⟩ n ⋅ σ = + 1 \bm{n}\cdot\bm{\sigma}=+1 n ⋅ σ = + 1 ∣ e ′ ⟩ | e' \rangle ∣ e ′ ⟩ − 1 -1 − 1 ω ( n ⋅ σ ) = p g ′ − p e ′ = 0.8 \omega(\bm{n}\cdot\bm{\sigma})=p_{g'}-p_{e'}=0.8 ω ( n ⋅ σ ) = p g ′ − p e ′ = 0.8 n \bm{n} n 0 0 0 r = 0.8 n = ( 0.48 , 0 , 0.64 ) \bm{r}=0.8\,\bm{n}=(0.48,\,0,\,0.64) r = 0.8 n = ( 0.48 , 0 , 0.64 ) 0.8 = tanh ( ln 3 ) = tanh ( β ℏ Ω ′ / 2 ) 0.8=\tanh(\ln3)=\tanh(\beta\hbar\Omega'/2) 0.8 = tanh ( ln 3 ) = tanh ( β ℏ Ω ′ /2 )
1 R. Kubo (1957), J. Phys. Soc. Jpn. 12 , 570；P. C. Martin and J. Schwinger (1959), Phys. Rev. 115 , 1342；R. Haag, N. M. Hugenholtz and M. Winnink (1967), Commun. Math. Phys. 5 , 215.
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
