共通例題①を KMS 状態として書き直す

量子力学の様々な構成方法　第8部 第4章 §8.4.3　★★★ 振動子の CCR 代数の Gauss 型の不変な状態は1径数の族をなし、KMS 条件がその中から熱平衡を1つ選ぶ。そこから占有数・エネルギー・分配関数が出る

この節では調和振動子の角周波数を $\omega$ と書くので、状態を $\varphi$ と書く。

Gauss 型の不変な状態の族

観測量の代数は、前の章の CCR 代数 $\mathfrak W(\mathbb{R}^2)$ で、元は Weyl 演算子 $W(a,b)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a\hat p+b\hat x)/\hbar}$ である（第8部第3章）。無次元の座標 $X=a\sqrt{m\omega/\hbar}$、$Y=b/\sqrt{m\omega\hbar}$ を使い、複素数 $\zeta\coloneqq X+\mathrm{i} Y$ で $z=(a,b)$ を表す。前の章の無次元の長さは $\lvert z\rvert _\omega^2=X^2+Y^2=\lvert \zeta\rvert ^2$、シンプレクティック形式は $\mathsf s(z_1,z_2)/\hbar=X_1Y_2-Y_1X_2=\operatorname{Im}(\bar\zeta_1\zeta_2)$ と書ける。時間発展 $\alpha_t(W(z))=W(z(t))$ は、第8部第2章の式で $(a,b)$ を回すもので、$\zeta$ の言葉では

$$\zeta(t)=\zeta\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\tag{8.4.9}$$

になる（$X(t)=X\cos\omega t+Y\sin\omega t$、$Y(t)=Y\cos\omega t-X\sin\omega t$ をまとめたもの）。

正の数 $c$ を1つ選び、

$$\varphi_c\bigl(W(z)\bigr)=\exp\Bigl(-\frac{c\lvert \zeta\rvert ^2}{4}\Bigr)\tag{8.4.10}$$

で状態を定める。$c=1$ は第8部第2章の基底状態の特性関数で、一般の $c$ では $\hat x$ と $\hat p$ の分散がどちらも基底状態の $c$ 倍になる。$\lvert \zeta(t)\rvert =\lvert \zeta\rvert$ なので、どの $c$ でも $\varphi_c\circ\alpha_t=\varphi_c$ で、時間で変わらない。$c$ には下限があり、$c<1$ では不確定性関係 $\langle \hat x^2 \rangle \langle \hat p^2 \rangle \ge\hbar^2/4$ が破れて(8.4.10) は正値な汎関数にならない。したがって $c\ge1$ の1径数の族があり、全部が時間で変わらない状態である。時間不変性だけでは熱平衡は決まらない、という第8.4.2節の注意の具体例になっている。

KMS 条件が $c$ を1つに決める

$F(t)=\varphi_c\bigl(W(z_1)\,\alpha_t(W(z_2))\bigr)$ を計算する。Weyl の関係 $W(z_1)W(z_2)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathsf s(z_1,z_2)/(2\hbar)}W(z_1+z_2)$ と (8.4.10) から、$w\coloneqq\bar\zeta_1\zeta_2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$（$=\bar\zeta_1\zeta_2(t)$）とおくと $\lvert \zeta_1+\zeta_2(t)\rvert ^2=\lvert \zeta_1\rvert ^2+\lvert \zeta_2\rvert ^2+2\operatorname{Re} w$ なので

$$F(t)=C\exp\Bigl(\frac{\mathrm{i}\operatorname{Im} w}{2}-\frac{c\operatorname{Re} w}{2}\Bigr),\qquad C\coloneqq\exp\Bigl(-\frac{c(\lvert \zeta_1\rvert ^2+\lvert \zeta_2\rvert ^2)}{4}\Bigr).$$

$\operatorname{Im} w=(w-\bar w)/(2\mathrm{i})$、$\operatorname{Re} w=(w+\bar w)/2$ を入れると、指数は $\frac14\bigl[(1-c)w-(1+c)\bar w\bigr]$ になる。$\bar w=\zeta_1\bar\zeta_2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}$ なので、

$$F(t)=C\exp\Bigl(\frac{(1-c)\,\bar\zeta_1\zeta_2\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}-(1+c)\,\zeta_1\bar\zeta_2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}}{4}\Bigr)\tag{8.4.11}$$

で、右辺は $t$ を複素数にしてもそのまま意味をもつ整関数である。逆の順序 $G(t)=\varphi_c\bigl(\alpha_t(W(z_2))\,W(z_1)\bigr)$ では Weyl の関係の位相の符号が逆になり、同じ計算で指数は $\frac14\bigl[-(1+c)w+(1-c)\bar w\bigr]$ になる。

KMS 条件は $F(t+\mathrm{i}\beta\hbar)=G(t)$ である。$t\to t+\mathrm{i}\beta\hbar$ で $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ は $\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}$ 倍、$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}$ は $\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega}$ 倍になるので、$x\coloneqq\beta\hbar\omega$ とおくと条件は

$$(1-c)\,\mathrm{e}^{x}=-(1+c),\qquad -(1+c)\,\mathrm{e}^{-x}=1-c\tag{8.4.12}$$

の2つで、どちらも同じ1つの式である。$c$ について解くと $c(\mathrm{e}^x-1)=\mathrm{e}^x+1$、すなわち

$$c=\frac{\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}+1}{\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1}=\coth\frac{\beta\hbar\omega}{2}\tag{8.4.13}$$

で、$c$ はただ1つに決まる。これは第8部第2章で熱平衡状態の特性関数として与えた $\coth(\beta\hbar\omega/2)$ 倍そのものである。あちらでは密度行列 $\mathrm{e}^{-\beta\hat H}/Z$ から計算した値を状態として置いたが、ここでは時間不変な状態の族の中から KMS 条件だけで選び出した。

占有数・エネルギー・分配関数

(8.4.10) を $b$ で2回微分すると $\varphi_c(\hat x^2)=c\,\hbar/(2m\omega)$、$a$ で2回微分すると $\varphi_c(\hat p^2)=c\,m\hbar\omega/2$ が出る（第8部第2章の例題の (1) と同じ手順）。したがって

$$\varphi_\beta(\hat H)=\frac{\hbar\omega}{2}\coth\frac{\beta\hbar\omega}{2},\qquad \varphi_\beta(\hat a^\dagger\hat a)=\frac{c-1}{2}=\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1}\tag{8.4.14}$$

で、共通例題①の占有数 $\langle n \rangle =1/(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1)$ が出る。分配関数は、第8部第2章で見たとおり $-\partial\ln Z/\partial\beta=\varphi_\beta(\hat H)$ を積分し、$\beta\to\infty$ で基底状態のエネルギー $\hbar\omega/2$ だけが残る条件で積分定数を決めると $Z=1/(2\sinh(\beta\hbar\omega/2))$ になる。$\beta\to\infty$ では $c\to1$ で、KMS 状態は基底状態 $\varphi_0$ に近づく。

占有数は KMS 条件からもっと短く出すこともできる。CCR 代数の正則な表現の中で $\hat a$ を作り直すと（前の章の Stone–von Neumann の定理）、$\alpha_t(\hat a)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\hat a$ なので形式的に $\alpha_{\mathrm{i}\beta\hbar}(\hat a)=\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}\hat a$ である。KMS の関係 (8.4.3) に $A=\hat a^\dagger$、$B=\hat a$ を入れると

$$\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}\varphi_\beta(\hat a^\dagger\hat a)=\varphi_\beta(\hat a\hat a^\dagger)=\varphi_\beta(\hat a^\dagger\hat a)+1$$

で、ただちに $\varphi_\beta(\hat a^\dagger\hat a)=1/(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1)$ を得る。$\hat a$ は非有界なのでこれは厳密な証明でなく、(8.4.13) の計算がその裏付けにあたる。同じ2行の計算はフェルミ粒子にも使え、第8.4.6節で Fermi 分布を出す。

無限個の振動子：Araki–Woods の表現

振動子を番号 $k=1,2,\dots$ で無限個並べ、どの番号も同じ $\beta$ の熱平衡にした積状態 $\varphi_\beta^{\otimes\infty}$ を考える。時間発展は番号ごとの回転 (8.4.9) の積で、有限個の番号に台をもつ観測量については、その番号たちの有限次元近似の熱平衡と同じ計算になる。したがって積状態は無限個の振動子の CCR 代数の KMS 状態である。一方、前の章の総合問題の (5) で見たとおり、この状態は真空 $\varphi_0^{\otimes\infty}$ の Fock 表現のどの密度行列でも書けない。$\mathrm{e}^{-\beta\hat H}/Z$ による定義は使えないが、KMS 条件による定義は何の変更もなく使える。この状態の GNS 表現は Araki と Woods が自由なボース気体の熱平衡として構成したもので、Araki–Woods の表現と呼ばれる¹1H. Araki and E. J. Woods (1963), J. Math. Phys. 4, 637.下の脚注へ閉じる。

1　H. Araki and E. J. Woods (1963), J. Math. Phys. 4, 637.