橋：熱平衡の3つの書き方

量子力学の様々な構成方法　第8部 第4章 §8.4.6　★★★ 密度行列の Gibbs 状態・代数の KMS 状態・虚時間の経路積分の周期境界条件は同じ熱平衡の3つの書き方で、KMS の帯の幅 $\beta\hbar$ が虚時間の周期にあたる。第二量子化の占有数も KMS 条件の2行で出る

この節でも調和振動子の角周波数を $\omega$ と書くので、振動子の状態は $\varphi$ と書く。

密度行列から代数へ、代数から密度行列へ

定理 8.4.1 が、基準（第4部の密度行列 第4部第4章）と代数の熱平衡の両向きの橋である。並べて書くと

$$\underbrace{\hat\rho_\beta=\frac{\mathrm{e}^{-\beta\hat H}}{Z},\ \ \langle A \rangle =\operatorname{Tr}(\hat\rho_\beta A)}_{\text{第4部：密度行列}} \quad\Longleftrightarrow\quad \underbrace{\omega\bigl(A\,\alpha_{\mathrm{i}\beta\hbar}(B)\bigr)=\omega(BA)\ \ (\forall A,B)}_{\text{第8部：KMS 条件}}\tag{8.4.20}$$

で、左から右はトレースの巡回性、右から左は「すべての行列と可換な行列はスカラー」である。有限次元ではどちらから出発しても同じ1つの状態に行き着く。無限系では左の書き方が失われ、右の書き方だけが残る。第8.4.4節の熱力学極限の結果 (b) は、左の書き方の極限が右の書き方に入ることを保証している。

虚時間の経路積分の周期境界条件

KMS の帯の上の関数 $F_{AB}$ を縦の線 $z=\mathrm{i}\tau$（$0\le\tau\le\beta\hbar$）に制限すると、虚時間の相関関数になる。振動子の位置の場合、$\hat x_{\mathrm H}(t)=\hat x\cos\omega t+\hat p\sin\omega t/(m\omega)$ と $\varphi_\beta(\hat x^2)=c\hbar/(2m\omega)$、$\varphi_\beta(\hat x\hat p)=\mathrm{i}\hbar/2$（対称化した部分 $\hat x\hat p+\hat p\hat x$ の期待値は $0$）から$F(t)=\varphi_\beta(\hat x\,\alpha_t(\hat x))=\frac{\hbar}{2m\omega}\bigl(c\cos\omega t+\mathrm{i}\sin\omega t\bigr)$ で、$t=\mathrm{i}\tau$ を入れて (8.4.13) を使うと

$$K(\tau)\coloneqq F(\mathrm{i}\tau)=\frac{\hbar}{2m\omega}\bigl(c\cosh\omega\tau-\sinh\omega\tau\bigr)=\frac{\hbar}{2m\omega}\,\frac{\cosh\bigl(\omega(\tau-\beta\hbar/2)\bigr)}{\sinh(\beta\hbar\omega/2)}\tag{8.4.21}$$

を得る。KMS 条件は $K(\beta\hbar)=\varphi_\beta(\hat x\hat x)=K(0)$ を与え、$K(\tau)$ は $\tau=\beta\hbar/2$ について対称である。これは、虚時間 $\tau$ の上で周期 $\beta\hbar$ の周期関数として延ばせることを意味する。

一方、第3部では虚時間の経路積分で分配関数を $Z=\oint\mathcal D x\,\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}[x]/\hbar}$（$x(0)=x(\beta\hbar)$ の周期境界条件つき）と書き、その経路積分の中の相関 $\langle x(\tau)x(0) \rangle$ が (8.4.21) と同じ形になる（第3部第6章）。経路積分の周期境界条件は、トレース $\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat H}=\int\mathrm{d} x\,\langle x | \mathrm{e}^{-\beta\hat H} | x \rangle$ で始めと終わりの位置を同じ $x$ にそろえて積分することを経路の言葉で書いたもので、KMS 条件はトレースを使わずに同じ周期性を状態の性質として述べたものである。対応をまとめると次のようになる。

$$\begin{array}{ccc} \text{経路積分（第3部）} & & \text{代数（第8部）}\\[2pt] \text{虚時間の周期 }\beta\hbar\text{、}x(0)=x(\beta\hbar) & \longleftrightarrow & \text{KMS の帯の幅 }\beta\hbar\text{、}F_{AB}(t+\mathrm{i}\beta\hbar)=\omega(\alpha_t(B)A)\\ \langle x(\tau)x(0) \rangle _{\text{経路積分}} & \longleftrightarrow & F_{xx}(\mathrm{i}\tau)=\varphi_\beta(\hat x\,\alpha_{\mathrm{i}\tau}(\hat x)) \end{array}$$

虚時間の相関から実時間の相関を取り出す操作（解析接続）は、帯の中の正則な関数を縦の線から実軸へ延ばすことで、KMS 条件はその解析接続ができることも保証している。

第二量子化の占有数

第8.4.3節の2行の計算は、第二量子化の1つのモードにそのまま使える。ボース粒子のモード（エネルギー $\hbar\omega$）では $\alpha_t(\hat a)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\hat a$、フェルミ粒子のモード（エネルギー $\varepsilon$）では $\alpha_t(\hat c)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varepsilon t/\hbar}\hat c$ で、KMS の関係に $A=\hat a^\dagger$（$\hat c^\dagger$）、$B=\hat a$（$\hat c$）を入れると

$$\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}\langle \hat a^\dagger\hat a \rangle =\langle \hat a\hat a^\dagger \rangle =\langle \hat a^\dagger\hat a \rangle +1,\qquad \mathrm{e}^{\beta\varepsilon }\langle \hat c^\dagger\hat c \rangle =\langle \hat c\hat c^\dagger \rangle =1-\langle \hat c^\dagger\hat c \rangle\tag{8.4.22}$$

になる。右側の等号が交換子 $\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1$ と反交換子 $\{\hat c,\hat c^\dagger\}_+=1$ の違いで、解くと

$$\langle \hat a^\dagger\hat a \rangle =\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1},\qquad\langle \hat c^\dagger\hat c \rangle =\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta\varepsilon }+1}$$

と Bose 分布と Fermi 分布が出る（化学ポテンシャル $\mu$ を入れるときは $\hbar\omega\to\hbar\omega-\mu$、$\varepsilon \to\varepsilon -\mu$ と時間発展を取り替える）。第6部では大分配関数のトレースから同じ分布を出す（第6部第5章）。ここでは分布の違いが「交換か反交換か」という代数の関係だけから出ることが見える。CAR 代数は有界なので、フェルミ粒子の側の計算は形式的でなく、そのまま厳密である。

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