この章のまとめ

(1) 例題 8.4.1 のとおり、$A=| g' \rangle \langle e' |$、$B=| e' \rangle \langle g' |$ を入れると $p_{e'}/p_{g'}=\mathrm{e}^{-\beta\hbar\Omega'}=1/9$、非対角の組を入れるとコヒーレンスが $0$ になる。したがって $\hat\rho_\beta=0.9| g' \rangle \langle g' |+0.1| e' \rangle \langle e' |=\tfrac12(1+0.8\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma})$、Bloch ベクトルは $\bm{r}=(0.48,0,0.64)$。定理 8.4.1 により、KMS の関係を満たす状態はこれ1つしかない。

(2) 例題 8.4.2 から $G^>(t)=0.64+0.36(0.9\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Omega't}+0.1\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Omega't})$、$G^<$ は重みを入れ替えたもの。$\nu=-\Omega'$ で $\tilde G^</\tilde G^>=1/9$、$\nu=+\Omega'$ で $9$。揺動散逸の比は $\tilde C/\tilde S=0.288/0.18=1.6=2\tanh(\ln3)$。振動子の $F_\beta$ は「エネルギー $\hbar\omega$ を渡す向きと受け取る向き」の重みが $\bar n+1$ と $\bar n$ で比 $\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega}$ だったが、ここでは $p_{g'}$ と $p_{e'}$ が同じ役をして比 $\mathrm{e}^{-\beta\hbar\Omega'}$ になる。どちらも (8.4.7) の例である。

(3) 相互作用が無いので、どちらの温度でも KMS 状態は1点の Gibbs 状態の積状態ただ1つである（第8.4.4節）。1点の期待値は $\tanh(\ln3)=0.8$ と $\tanh(\ln2)=0.6$。前の章の補題により、それぞれの GNS 表現で $M_N\to0.8\cdot1$、$M_N\to0.6\cdot1$ に強収束する。値が違うので前の章の定理によりユニタリ同値でない。$N=100$ でのゆらぎは $\sqrt{0.36/100}=0.06$ と $\sqrt{0.64/100}=0.08$ で、差 $0.2$ より小さい。

(4) $\tanh(\tfrac54\ln3\cdot0.8)=\tanh(\ln3)=0.8$ なので $m^*=0.8$（例題 8.4.5）。Gibbs 状態の極限は $\tfrac12\omega_++\tfrac12\omega_-$ で、$M_N$ の分散は $0.64$ に収束して消えない。端点 KMS 状態の表現では中心がスカラーで巨視的な平均は数に収束するはずなので、分散が残るこの状態は端点でない（混合相）。裏返す操作 $\gamma$ がユニタリ $U$ で $\pi_+$ の中に実装できたとすると、$\omega_-=\omega_+\circ\gamma$ が $\pi_+$ のベクトル状態になる。しかし $\omega_\pm$ は1点の $\sigma_z$ の期待値が $\pm0.8$ と違う積状態なので、(3) と同じく $M_N$（今度は $A=\sigma_z$）の極限が $+0.8$ と $-0.8$ に分かれ、$\omega_-$ は $\pi_+$ の正規状態になりえない（命題 8.4.5）。

(5) (2) の $G^>$ に $t=\mathrm{i}\tau$ を入れて $K_\sigma(\tau)=0.64+0.36(0.9\mathrm{e}^{-\Omega'\tau}+0.1\mathrm{e}^{\Omega'\tau})$。$\tau\to\beta\hbar-\tau$ とすると $\mathrm{e}^{\Omega'\beta\hbar}=9$ から$0.9\mathrm{e}^{-\Omega'(\beta\hbar-\tau)}=0.1\mathrm{e}^{\Omega'\tau}$、$0.1\mathrm{e}^{\Omega'(\beta\hbar-\tau)}=0.9\mathrm{e}^{-\Omega'\tau}$ で2つの項が入れ替わるだけなので、$K_\sigma(\beta\hbar-\tau)=K_\sigma(\tau)$。とくに $K_\sigma(0)=K_\sigma(\beta\hbar)=1$、$K_\sigma(\beta\hbar/2)=0.856$。$K_\sigma(\beta\hbar)=\omega(\sigma_z\sigma_z)=K_\sigma(0)$ は KMS 条件そのもので、虚時間の端と端が同じ値をとり、周期 $\beta\hbar$ の関数として延ばせる。経路積分では $\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ の始めと終わりを同じ配位でつなぐ周期境界条件が同じ周期性を与えるので、2つの構成は同じ熱平衡を、一方はトレースの形で、他方は状態の性質として書いている。