期待値から内積を作る

量子力学の様々な構成方法　第8部 第2章 §8.2.1　★★★ GNS 構成の発想。観測量の全体を線形空間と見て、状態で内積を入れ、長さ0のものを割る

前の章（第8部第1章）では、観測量の C*代数 $\mathfrak A$ と、その上の状態 $\omega$（正値で規格化された線形汎関数）の組を出発点に置いた。そこで示したのは、基準の構成の $(\mathcal{H},| \psi \rangle )$ からベクトル状態 $\omega_\psi(A)=\langle \psi | A | \psi \rangle$ を作れば代数の状態になる、という基準から代数へ向かう向きだけである。この章は逆向きを受け持つ。ヒルベルト空間をまったく持たない状態で、$(\mathfrak A,\omega)$ だけからヒルベルト空間 $\mathcal{H}_\omega$、その上の表現 $\pi_\omega$、単位ベクトル $\xi_\omega$ を作り、$\omega(A)=\langle \xi_\omega,\,\pi_\omega(A)\xi_\omega\rangle$ を成り立たせる。これが Gelfand・Naimark・Segal の名前を取った GNS 構成である。

GNS 構成のもとにある考えは単純で、「観測量 $A$ を状態に当てたもの」をベクトルと見なし、その内積を期待値 $\omega(A^*B)$ で定めるというものである。基準の言葉で書けば、ベクトル $\hat A| \psi \rangle$ と $\hat B| \psi \rangle$ の内積は $\langle \psi | \hat A^\dagger\hat B | \psi \rangle$ であり、これは期待値だけで書かれている。状態ベクトル $| \psi \rangle$ を知らなくても、期待値の表さえあればベクトルの内積の表が作れる。代数的な構成のヒルベルト空間はこうして作られる。

章の流れは次のとおりである。第8.2.1節で内積と零ベクトルの扱いを最小の例（量子ビットの純粋状態）で見る。第8.2.2節で GNS の定理を述べ、存在と一意性を証明する。第8.2.3節で行列代数の上の一般の状態に GNS を当て、結果が第4部の浄化と一致することを示す。第8.2.4節で、状態が純粋であることと表現が既約であることの同値を証明する。第8.2.5節では、時間発展で変わらない状態の GNS 空間にユニタリな時間発展が自動的に載ることを示し、共通例題①の調和振動子を基底状態と熱平衡状態の2つから作り直す。第8.2.6節が基準との両向きの橋の節である。

この章では、GNS 構成が作る巡回ベクトルを $\xi_\omega$ と書く。代数的量子論の文献では $\Omega_\omega$ と書くことが多いが、この巻では $\Omega$ を Rabi 周波数に使うので避けた。

代数そのものを線形空間と見る

C*代数 $\mathfrak A$ は複素数の線形空間である。状態 $\omega$ が1つ与えられたとき、$\mathfrak A$ の2つの元 $A,B$ に対して

$$\langle A,\,B\rangle _\omega\coloneqq\omega(A^*B)\tag{8.2.1}$$

と定める。これは $A$ について共役線形、$B$ について線形で、前の章の命題（第8部第1章の状態の基本の性質）により$\langle B,\,A\rangle _\omega=\overline{\langle A,\,B\rangle _\omega}$ と $\langle A,\,A\rangle _\omega=\omega(A^*A)\ge0$ を満たす。内積の条件のうち欠けているのは「$\langle A,\,A\rangle _\omega=0$ なら $A=0$」の1つだけである。

基準の言葉に戻すと、この欠けている条件の意味が分かる。$\omega=\omega_\psi$ なら $\langle A,\,A\rangle _\omega=\lVert \hat A| \psi \rangle \rVert ^2$ であり、これが $0$ になるのは $\hat A| \psi \rangle =0$ のとき、つまり $\hat A$ が $| \psi \rangle$ を消すときである。$\hat A\ne0$ でもそういうことは普通に起こる。そこで長さが $0$ になる元の全体

$$\mathcal N_\omega\coloneqq\{A\in\mathfrak A:\ \omega(A^*A)=0\}\tag{8.2.2}$$

を考え、$A-B\in\mathcal N_\omega$ となる $A$ と $B$ を同じものと見なす。$A$ の同値類を $[A]$ と書くと、商空間 $\mathfrak A/\mathcal N_\omega$ の上で$\langle [A],\,[B]\rangle \coloneqq\omega(A^*B)$ は本物の内積になる（$\mathcal N_\omega$ が部分空間で、内積が代表の選び方によらないことは第8.2.2節で示す）。基準の言葉では、$[A]$ はベクトル $\hat A| \psi \rangle$ そのものにあたり、$\mathcal N_\omega$ で割る操作は「同じベクトルを与える演算子を同一視する」操作にあたる。

観測量はこの空間に左からの積で作用させる。

$$\pi_\omega(B)[A]\coloneqq[BA],\qquad \xi_\omega\coloneqq[1].\tag{8.2.3}$$

すると $\langle \xi_\omega,\,\pi_\omega(A)\xi_\omega\rangle =\langle [1],\,[A]\rangle =\omega(1^*A)=\omega(A)$ となり、状態 $\omega$ がベクトル $\xi_\omega$ の期待値として書き直される。さらに $\pi_\omega(A)\xi_\omega=[A]$ なので、$\xi_\omega$ に観測量を当てたものの全体が空間全体になる。この性質を巡回的と呼ぶ。基準の言葉では、$[1]$ は $| \psi \rangle$ そのもの、$[A]$ は $\hat A| \psi \rangle$ である。

量子ビットの純粋状態で確かめる

最も小さい例で、この手続きが基準の $\mathbb{C}^2$ を本当に作り直すことを確かめる。$\mathfrak A=M_2(\mathbb{C})$ は4次元の線形空間で、$1,\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ が基底である。状態を $\omega_g(A)\coloneqq\langle g | A | g \rangle$ とする（$\sigma_z| g \rangle =-| g \rangle$）。$\omega_g(A^*A)=\lVert A| g \rangle \rVert ^2$ なので、$\mathcal N_{\omega_g}=\{A: A| g \rangle =0\}$ は $| g \rangle$ を消す行列の全体で、第2列が $0$ の行列の全体にあたる。これは2次元である。したがって商空間は $4-2=2$ 次元で、写像 $[A]\mapsto A| g \rangle$ が $\mathfrak A/\mathcal N_{\omega_g}$ から $\mathbb{C}^2$ への内積を保つ同型になる。期待値の表しか使っていないのに、基準の $\mathbb{C}^2$ がそのまま出てくる。