橋：代数から基準へ、基準から代数へ

量子力学の様々な構成方法　第8部 第2章 §8.2.6　★★★ GNS 構成と前の章のベクトル状態が互いに逆の操作であることを示し、浄化・Stone–von Neumann・熱場二重状態への橋を並べる

両向きの橋と往復

同値性の地図の「基準 $\leftrightarrow$ 代数」の橋は、2つの操作でできている。

$$\underbrace{(\mathcal{H},| \psi \rangle )\ \longmapsto\ \omega_\psi(A)=\langle \psi | A | \psi \rangle }_{\text{基準}\to\text{代数（前の章）}} \qquad\qquad \underbrace{(\mathfrak A,\omega)\ \longmapsto\ (\mathcal{H}_\omega,\pi_\omega,\xi_\omega)}_{\text{代数}\to\text{基準（この章）}}\tag{8.2.12}$$

この2つが互いに逆であることを、往復で確かめる。

(2) で $\mathfrak A=B(\mathcal{H})$ と書いたことに意味がある。代数を小さくとると、同じ $| \psi \rangle$ でも GNS 空間は変わる。観測できる量を減らすと、状態ベクトルから見える部分も減るからである。

ほかの部への橋

GNS 構成は、ほかの部で示す橋のいくつかを1つの定理の特別な場合として含んでいる。式で並べると次のとおりである。

• 浄化（第4部）：$M_n(\mathbb{C})$ の状態 $\operatorname{Tr}(\hat\rho A)$ の GNS は (8.2.7) の浄化 $\sum_k\sqrt{p_k}| k \rangle \otimes| k \rangle$ で、浄化が補助系のユニタリを除いて一意であることは定理 8.2.1 の一意性である（第4部第2章）。アンサンブルの不定性（第4部第3章）は可換子環 $1\otimes M_r(\mathbb{C})$ が非可換であることに対応する。
• 描像の変換（第2部）：不変な状態の GNS では $U_t\pi(A)U_t^{-1}=\pi(\alpha_t(A))$（命題 8.2.5）が Heisenberg 描像の$\hat A_{\mathrm H}(t)=\hat U^\dagger\hat A\hat U$ にあたる（第2部第6章）。
• Stone–von Neumann の定理（第2部）：自由度1の Weyl 形式 $U(a)V(b)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} ab/\hbar}V(b)U(a)$ の既約で $a,b$ について連続な表現は、すべてSchrödinger 表現 $L^2(\mathbb{R})$ とユニタリ同値である（第2部第6章）。したがって $\varphi_0$ のような連続な純粋状態から GNS 構成をすると、必ず基準の $L^2(\mathbb{R})$ が戻る。共通例題①で Fock 空間が作り直されたのはこのためである。自由度が無限になると、この一意性が崩れる（第8部第3章）。
• 熱平衡（第4部・第8部第4章）：熱平衡状態の GNS は2倍の系の純粋状態 $\xi_\beta=\sum_n\sqrt{p_n}| n \rangle \otimes| n \rangle$ で、時間発展の生成子は $\hat L=\hat H\otimes1-1\otimes\hat H$ になる。$\mathrm{e}^{-\beta\hat H}/Z$（第4部第4章）を使わず状態と $\alpha_t$ だけで熱平衡を書く形が、第8部第4章の KMS 条件である。

図 8.2.3　GNS 構成が架ける橋。上の2本の矢印が「基準 $\leftrightarrow$ 代数」の両向きで、前の章とこの章で示した。下の3つは、状態の種類（行列代数の混合状態・自由度1の Weyl 代数の純粋状態・熱平衡状態）ごとに GNS 構成がほかの部の結果を再現することを表す。

学部の授業の量子力学では、ヒルベルト空間を最初に与えて「状態はその単位ベクトル」とする。この章の結果は、その順序を逆にしても同じヒルベルト空間が戻ってくることを保証している。ただし戻ってくるのは状態ごとに1つの空間で、状態を取り替えたときに同じ空間に戻るとは限らない。有限自由度では Stone–von Neumann の定理がそれを保証し、無限自由度では保証が無い。この保証の有無が第8部の残りの章の主題である。