量子力学の様々な構成方法 第8部 第2章 §8.2.2 ★★★ 代数から基準へ戻る向きの橋の本体。巡回表現は状態から一意に決まる
定理
定理 8.2.1（GNS 構成 ★★★）
単位元をもつ C*代数 A \mathfrak A A ω \omega ω ( H ω , π ω , ξ ω ) (\mathcal{H}_\omega,\pi_\omega,\xi_\omega) ( H ω , π ω , ξ ω )
(i) H ω \mathcal{H}_\omega H ω π ω \pi_\omega π ω A \mathfrak A A B ( H ω ) B(\mathcal{H}_\omega) B ( H ω ) π ( A B ) = π ( A ) π ( B ) \pi(AB)=\pi(A)\pi(B) π ( A B ) = π ( A ) π ( B ) π ( A ∗ ) = π ( A ) † \pi(A^*)=\pi(A)^\dagger π ( A ∗ ) = π ( A ) † π ( 1 ) = 1 \pi(1)=1 π ( 1 ) = 1 (ii) ξ ω \xi_\omega ξ ω A A A ω ( A ) = ⟨ ξ ω , π ω ( A ) ξ ω ⟩ \omega(A)=\langle \xi_\omega,\,\pi_\omega(A)\xi_\omega\rangle ω ( A ) = ⟨ ξ ω , π ω ( A ) ξ ω ⟩ (iii) ξ ω \xi_\omega ξ ω { π ω ( A ) ξ ω : A ∈ A } \{\pi_\omega(A)\xi_\omega: A\in\mathfrak A\} { π ω ( A ) ξ ω : A ∈ A } H ω \mathcal{H}_\omega H ω
さらに、同じ性質をもつ別の3つ組 ( H ′ , π ′ , ξ ′ ) (\mathcal{H}',\pi',\xi') ( H ′ , π ′ , ξ ′ ) U : H ω → H ′ U:\mathcal{H}_\omega\to\mathcal{H}' U : H ω → H ′ U ξ ω = ξ ′ U\xi_\omega=\xi' U ξ ω = ξ ′ U π ω ( A ) U − 1 = π ′ ( A ) U\pi_\omega(A)U^{-1}=\pi'(A) U π ω ( A ) U − 1 = π ′ ( A )
この構成は Gelfand と Naimark の1943年の論文1 1 I. Gelfand and M. Neumark (1943), “On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space”, Mat. Sbornik 12 (54), 197.B ( H ) B(\mathcal{H}) B ( H ) 2 2 I. E. Segal (1947), “Irreducible representations of operator algebras”, Bull. Amer. Math. Soc. 53 , 73–88.
存在の証明
証明の中心は、次の不等式である。
補題 8.2.2（左から掛けても長さは ∥ B ∥ \lVert B\rVert ∥ B ∥
状態 ω \omega ω A , B ∈ A A,B\in\mathfrak A A , B ∈ A ω ( A ∗ B ∗ B A ) ≤ ∥ B ∥ 2 ω ( A ∗ A ) \omega(A^*B^*BA)\le\lVert B\rVert ^2\,\omega(A^*A) ω ( A ∗ B ∗ B A ) ≤ ∥ B ∥ 2 ω ( A ∗ A )
証明 ∥ B ∥ 2 1 − B ∗ B \lVert B\rVert ^21-B^*B ∥ B ∥ 2 1 − B ∗ B ∥ B ∥ 2 − σ ( B ∗ B ) \lVert B\rVert ^2-\sigma(B^*B) ∥ B ∥ 2 − σ ( B ∗ B ) ∥ B ∗ B ∥ = ∥ B ∥ 2 \lVert B^*B\rVert =\lVert B\rVert ^2 ∥ B ∗ B ∥ = ∥ B ∥ 2 σ ( B ∗ B ) ⊂ [ 0 , ∥ B ∥ 2 ] \sigma(B^*B)\subset[0,\lVert B\rVert ^2] σ ( B ∗ B ) ⊂ [ 0 , ∥ B ∥ 2 ] [ 0 , ∞ ) [0,\infty) [ 0 , ∞ ) ∥ B ∥ 2 1 − B ∗ B \lVert B\rVert ^21-B^*B ∥ B ∥ 2 1 − B ∗ B ∥ B ∥ 2 1 − B ∗ B = D ∗ D \lVert B\rVert ^21-B^*B=D^*D ∥ B ∥ 2 1 − B ∗ B = D ∗ D ∥ B ∥ 2 A ∗ A − A ∗ B ∗ B A = A ∗ D ∗ D A = ( D A ) ∗ ( D A ) \lVert B\rVert ^2A^*A-A^*B^*BA=A^*D^*DA=(DA)^*(DA) ∥ B ∥ 2 A ∗ A − A ∗ B ∗ B A = A ∗ D ∗ D A = ( D A ) ∗ ( D A ) ω ( ( D A ) ∗ ( D A ) ) ≥ 0 \omega\bigl((DA)^*(DA)\bigr)\ge0 ω ( ( D A ) ∗ ( D A ) ) ≥ 0
定理 8.2.1 の存在の部分の証明 N ω \mathcal N_\omega N ω A ∈ N ω A\in\mathcal N_\omega A ∈ N ω 8.2.2 で ω ( ( B A ) ∗ ( B A ) ) ≤ ∥ B ∥ 2 ⋅ 0 = 0 \omega((BA)^*(BA))\le\lVert B\rVert ^2\cdot0=0 ω (( B A ) ∗ ( B A )) ≤ ∥ B ∥ 2 ⋅ 0 = 0 B A ∈ N ω BA\in\mathcal N_\omega B A ∈ N ω ∣ ω ( B ∗ A ) ∣ 2 ≤ ω ( A ∗ A ) ω ( B ∗ B ) \lvert \omega(B^*A)\rvert ^2\le\omega(A^*A)\omega(B^*B) ∣ ω ( B ∗ A ) ∣ 2 ≤ ω ( A ∗ A ) ω ( B ∗ B ) A , B ∈ N ω A,B\in\mathcal N_\omega A , B ∈ N ω ω ( B ∗ A ) = ω ( A ∗ B ) = 0 \omega(B^*A)=\omega(A^*B)=0 ω ( B ∗ A ) = ω ( A ∗ B ) = 0 ω ( ( A + B ) ∗ ( A + B ) ) = 0 \omega((A+B)^*(A+B))=0 ω (( A + B ) ∗ ( A + B )) = 0 A ∈ N ω A\in\mathcal N_\omega A ∈ N ω C C C ω ( C ∗ A ) = 0 \omega(C^*A)=0 ω ( C ∗ A ) = 0
内積は代表によらない。 A ′ = A + N A'=A+N A ′ = A + N N ∈ N ω N\in\mathcal N_\omega N ∈ N ω ω ( A ′ ∗ B ) = ω ( A ∗ B ) + ω ( N ∗ B ) \omega(A'^*B)=\omega(A^*B)+\omega(N^*B) ω ( A ′ ∗ B ) = ω ( A ∗ B ) + ω ( N ∗ B ) ω ( B ∗ N ) ‾ = 0 \overline{\omega(B^*N)}=0 ω ( B ∗ N ) = 0 B B B ⟨ [ A ] , [ A ] ⟩ = 0 \langle [A],\,[A]\rangle =0 ⟨[ A ] , [ A ]⟩ = 0 A ∈ N ω A\in\mathcal N_\omega A ∈ N ω [ A ] = 0 [A]=0 [ A ] = 0 A / N ω \mathfrak A/\mathcal N_\omega A / N ω ⟨ [ A ] , [ B ] ⟩ = ω ( A ∗ B ) \langle [A],\,[B]\rangle =\omega(A^*B) ⟨[ A ] , [ B ]⟩ = ω ( A ∗ B ) H ω \mathcal{H}_\omega H ω
作用は代表によらず、有界。 N ∈ N ω N\in\mathcal N_\omega N ∈ N ω B N ∈ N ω BN\in\mathcal N_\omega B N ∈ N ω [ B ( A + N ) ] = [ B A ] [B(A+N)]=[BA] [ B ( A + N )] = [ B A ] 8.2.2 は ∥ π ω ( B ) [ A ] ∥ 2 = ω ( A ∗ B ∗ B A ) ≤ ∥ B ∥ 2 ∥ [ A ] ∥ 2 \lVert \pi_\omega(B)[A]\rVert ^2=\omega(A^*B^*BA)\le\lVert B\rVert ^2\lVert [A]\rVert ^2 ∥ π ω ( B ) [ A ] ∥ 2 = ω ( A ∗ B ∗ B A ) ≤ ∥ B ∥ 2 ∥[ A ] ∥ 2 π ω ( B ) \pi_\omega(B) π ω ( B ) A / N ω \mathfrak A/\mathcal N_\omega A / N ω ∥ B ∥ \lVert B\rVert ∥ B ∥ H ω \mathcal{H}_\omega H ω
*準同型。 π ( B 1 B 2 ) [ A ] = [ B 1 B 2 A ] = π ( B 1 ) π ( B 2 ) [ A ] \pi(B_1B_2)[A]=[B_1B_2A]=\pi(B_1)\pi(B_2)[A] π ( B 1 B 2 ) [ A ] = [ B 1 B 2 A ] = π ( B 1 ) π ( B 2 ) [ A ] ⟨ [ C ] , π ( B ) [ A ] ⟩ = ω ( C ∗ B A ) = ω ( ( B ∗ C ) ∗ A ) = ⟨ π ( B ∗ ) [ C ] , [ A ] ⟩ \langle [C],\,\pi(B)[A]\rangle =\omega(C^*BA)=\omega((B^*C)^*A)=\langle \pi(B^*)[C],\,[A]\rangle ⟨[ C ] , π ( B ) [ A ]⟩ = ω ( C ∗ B A ) = ω (( B ∗ C ) ∗ A ) = ⟨ π ( B ∗ ) [ C ] , [ A ]⟩ π ( B ) † = π ( B ∗ ) \pi(B)^\dagger=\pi(B^*) π ( B ) † = π ( B ∗ ) 8.2.1 節で確かめたとおりである。
一意性の証明
定理 8.2.1 の一意性の部分の証明 稠密な部分空間の上で U π ω ( A ) ξ ω ≔ π ′ ( A ) ξ ′ U\pi_\omega(A)\xi_\omega\coloneqq\pi'(A)\xi' U π ω ( A ) ξ ω : = π ′ ( A ) ξ ′
∥ π ′ ( A ) ξ ′ ∥ 2 = ⟨ ξ ′ , π ′ ( A ∗ A ) ξ ′ ⟩ = ω ( A ∗ A ) = ∥ π ω ( A ) ξ ω ∥ 2 \lVert \pi'(A)\xi'\rVert ^2=\langle \xi',\,\pi'(A^*A)\xi'\rangle =\omega(A^*A)=\lVert \pi_\omega(A)\xi_\omega\rVert ^2 ∥ π ′ ( A ) ξ ′ ∥ 2 = ⟨ ξ ′ , π ′ ( A ∗ A ) ξ ′ ⟩ = ω ( A ∗ A ) = ∥ π ω ( A ) ξ ω ∥ 2
から出る（π ω ( A ) ξ ω = π ω ( B ) ξ ω \pi_\omega(A)\xi_\omega=\pi_\omega(B)\xi_\omega π ω ( A ) ξ ω = π ω ( B ) ξ ω A − B A-B A − B π ′ ( A ) ξ ′ = π ′ ( B ) ξ ′ \pi'(A)\xi'=\pi'(B)\xi' π ′ ( A ) ξ ′ = π ′ ( B ) ξ ′ ξ ′ \xi' ξ ′ U U U A = 1 A=1 A = 1 U ξ ω = ξ ′ U\xi_\omega=\xi' U ξ ω = ξ ′ U π ω ( B ) π ω ( A ) ξ ω = π ′ ( B A ) ξ ′ = π ′ ( B ) U π ω ( A ) ξ ω U\pi_\omega(B)\pi_\omega(A)\xi_\omega=\pi'(BA)\xi'=\pi'(B)U\pi_\omega(A)\xi_\omega U π ω ( B ) π ω ( A ) ξ ω = π ′ ( B A ) ξ ′ = π ′ ( B ) U π ω ( A ) ξ ω U π ω ( B ) = π ′ ( B ) U U\pi_\omega(B)=\pi'(B)U U π ω ( B ) = π ′ ( B ) U U U U
一意性の主張に「巡回的」という条件が入っていることに注意する。ω \omega ω ( H , π , ξ ) (\mathcal{H},\pi,\xi) ( H , π , ξ ) ξ \xi ξ H \mathcal{H} H ξ \xi ξ ω \omega ω
例題 8.2.2 同じ状態を与える2つのベクトルの巡回性 ★★
オリジナル H = C 2 ⊗ C 2 \mathcal{H}=\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2 H = C 2 ⊗ C 2 π ( A ) = A ⊗ 1 \pi(A)=A\otimes1 π ( A ) = A ⊗ 1 A ∈ M 2 ( C ) A\in M_2(\mathbb{C}) A ∈ M 2 ( C ) 0 < p < 1 0<p<1 0 < p < 1 ∣ Ψ 1 ⟩ ≔ ∣ g ⟩ ⊗ ∣ 0 ⟩ | \Psi_1 \rangle \coloneqq| g \rangle \otimes| 0 \rangle ∣ Ψ 1 ⟩ : = ∣ g ⟩ ⊗ ∣0 ⟩ ∣ Ψ 2 ⟩ ≔ p ∣ 00 ⟩ + 1 − p ∣ 11 ⟩ | \Psi_2 \rangle \coloneqq\sqrt p| 00 \rangle +\sqrt{1-p}| 11 \rangle ∣ Ψ 2 ⟩ : = p ∣00 ⟩ + 1 − p ∣11 ⟩
(1) ∣ Ψ 1 ⟩ | \Psi_1 \rangle ∣ Ψ 1 ⟩ M 2 ( C ) M_2(\mathbb{C}) M 2 ( C ) ω g \omega_g ω g ∣ Ψ 1 ⟩ | \Psi_1 \rangle ∣ Ψ 1 ⟩ (2) ∣ Ψ 2 ⟩ | \Psi_2 \rangle ∣ Ψ 2 ⟩ H \mathcal{H} H (3) (1)(2) と定理 8.2.1 から、ω g \omega_g ω g ω Ψ 2 \omega_{\Psi_2} ω Ψ 2
解答 (1) ⟨ Ψ 1 ∣ A ⊗ 1 ∣ Ψ 1 ⟩ = ⟨ g ∣ A ∣ g ⟩ ⟨ 0 ∣ 0 ⟩ = ω g ( A ) \langle \Psi_1 | A\otimes1 | \Psi_1 \rangle =\langle g | A | g \rangle \langle 0 | 0 \rangle =\omega_g(A) ⟨ Ψ 1 ∣ A ⊗ 1∣ Ψ 1 ⟩ = ⟨ g ∣ A ∣ g ⟩ ⟨ 0∣0 ⟩ = ω g ( A ) ( A ⊗ 1 ) ∣ Ψ 1 ⟩ = A ∣ g ⟩ ⊗ ∣ 0 ⟩ (A\otimes1)| \Psi_1 \rangle =A| g \rangle \otimes| 0 \rangle ( A ⊗ 1 ) ∣ Ψ 1 ⟩ = A ∣ g ⟩ ⊗ ∣0 ⟩ A ∣ g ⟩ A| g \rangle A ∣ g ⟩ C 2 \mathbb{C}^2 C 2 C 2 ⊗ ∣ 0 ⟩ \mathbb{C}^2\otimes| 0 \rangle C 2 ⊗ ∣0 ⟩ 2 2 2 C 2 ⊗ ∣ 1 ⟩ \mathbb{C}^2\otimes| 1 \rangle C 2 ⊗ ∣1 ⟩
(2) 行列単位 E i j = ∣ i ⟩ ⟨ j ∣ E_{ij}=| i \rangle \langle j | E ij = ∣ i ⟩ ⟨ j ∣ ( E i j ⊗ 1 ) ∣ Ψ 2 ⟩ = p j ∣ i ⟩ ⊗ ∣ j ⟩ (E_{ij}\otimes1)| \Psi_2 \rangle =\sqrt{p_j}\,| i \rangle \otimes| j \rangle ( E ij ⊗ 1 ) ∣ Ψ 2 ⟩ = p j ∣ i ⟩ ⊗ ∣ j ⟩ p 0 = p p_0=p p 0 = p p 1 = 1 − p p_1=1-p p 1 = 1 − p p j > 0 p_j>0 p j > 0 ∣ i j ⟩ | ij \rangle ∣ ij ⟩ H \mathcal{H} H
(3) 巡回的な部分空間に制限すると定理の一意性が使えるので、ω g \omega_g ω g dim H ω g = 2 \dim\mathcal{H}_{\omega_g}=2 dim H ω g = 2 8.2.1 節の計算と一致する）。ω Ψ 2 \omega_{\Psi_2} ω Ψ 2 ω Ψ 2 ( A ) = p A 00 + ( 1 − p ) A 11 = Tr ( ρ ^ A ) \omega_{\Psi_2}(A)=pA_{00}+(1-p)A_{11}=\operatorname{Tr}(\hat\rho A) ω Ψ 2 ( A ) = p A 00 + ( 1 − p ) A 11 = Tr ( ρ ^ A ) ρ ^ = d i a g ( p , 1 − p ) \hat\rho=\mathrm{diag}(p,1-p) ρ ^ = diag ( p , 1 − p ) 第8部第1章 の浄化の例題）の混合状態である。純粋状態の GNS は2次元、この混合状態の GNS は4次元になる。この違いを次の2節で一般に調べる。
1 I. Gelfand and M. Neumark (1943), “On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space”, Mat. Sbornik 12 (54), 197.
2 I. E. Segal (1947), “Irreducible representations of operator algebras”, Bull. Amer. Math. Soc. 53 , 73–88.
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
