この章のまとめ

(1) $(\bm{n}\cdot\bm{\sigma})^2=1$ を使うと

$$\Bigl(\frac{2+\bm{n}\cdot\bm{\sigma}}{\sqrt{10}}\Bigr)^2=\frac{4+4\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}+1}{10}=\frac12+0.4\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}=\frac12(1+0.8\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma})=\hat\rho_\beta .$$

$\bm{n}\cdot\bm{\sigma}$ の固有値 $\pm1$ に対して $(2\pm1)/\sqrt{10}$ はともに正なので、これが正の平方根である（固有値 $3/\sqrt{10}=\sqrt{0.9}$、$1/\sqrt{10}=\sqrt{0.1}$）。$\hat\rho_\beta^{1/2}$ は逆行列をもつので $A\hat\rho_\beta^{1/2}=0$ なら $A=0$、$\mathcal N_{\omega_\beta}=\{0\}$、$\dim\mathcal{H}_{\omega_\beta}=4$。GNS 空間は $M_2(\mathbb{C})$ そのもので、$\xi_\beta=\hat\rho_\beta^{1/2}$ である。

(2) $R_{P'}$ は左からの積と交換し、$R_{P'}^2=R_{P'}$、$\langle X,\,YP'\rangle _{\mathrm{HS}}=\langle XP',\,Y\rangle _{\mathrm{HS}}$ なので可換子環の射影である。$\lambda=\lVert \xi_\beta P'\rVert ^2=\operatorname{Tr}(P'\hat\rho_\beta P')=\operatorname{Tr}(\hat\rho_\beta P')=\tfrac12(1+r_x)=0.74$。成分の状態は$\omega_1(A)=\operatorname{Tr}(\hat\rho_\beta^{1/2}P'\hat\rho_\beta^{1/2}A)/0.74$ である。$\hat\rho_\beta^{1/2}=c_0+c_1\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}$（$c_0=2/\sqrt{10}$、$c_1=1/\sqrt{10}$）、$\bm{m}=(1,0,0)$ として、Pauli 行列の積の規則から

$$\hat\rho_\beta^{1/2}(1+\bm{m}\cdot\bm{\sigma})\hat\rho_\beta^{1/2}=\hat\rho_\beta+c_0^2\,\bm{m}\cdot\bm{\sigma}+2c_0c_1(\bm{n}\cdot\bm{m})+c_1^2\bigl(2(\bm{n}\cdot\bm{m})\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}-\bm{m}\cdot\bm{\sigma}\bigr)$$

で、$\bm{n}\cdot\bm{m}=0.6$、$c_0^2=0.4$、$c_0c_1=0.2$、$c_1^2=0.1$ を入れると $1.48\cdot1+(0.52\,\bm{n}+0.3\,\bm{m})\cdot\bm{\sigma}=1.48\cdot1+(0.612,0,0.416)\cdot\bm{\sigma}$。2で割ると $\hat\rho_\beta^{1/2}P'\hat\rho_\beta^{1/2}=0.74\cdot1+(0.306,0,0.208)\cdot\bm{\sigma}$ となり、規格化した状態の Bloch ベクトルは$\bm{r}_1=(0.612,0,0.416)/0.74=(153/185,\,0,\,104/185)$。$153^2+104^2=185^2$ なので $\lvert \bm{r}_1\rvert =1$ で純粋状態である。$1-P'$ の側は $\bm{m}=(-1,0,0)$ を入れて同じ計算をし、重み $0.26$、$\bm{r}_2=(-0.132,0,0.224)/0.26=(-33/65,\,0,\,56/65)$、$33^2+56^2=65^2$ でやはり純粋である。確かに $0.74\,\bm{r}_1+0.26\,\bm{r}_2=(0.612-0.132,\,0,\,0.416+0.224)=(0.48,0,0.64)=\bm{r}$。固有分解は重み $0.9,0.1$ で Bloch ベクトル $\pm\bm{n}$ だったので、これとは別の分け方である。$P'$ を $\bm{n}$ 方向の射影 $P_{\bm{n}}=\tfrac12(1+\bm{n}\cdot\bm{\sigma})$ に替えると、$\hat\rho_\beta^{1/2}P_{\bm{n}}\hat\rho_\beta^{1/2}=\hat\rho_\beta P_{\bm{n}}=0.9P_{\bm{n}}$ となり固有分解が出る。

(3) $U_t\pi(A)\xi_\beta=\pi(\alpha_t(A))\xi_\beta=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}A\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}\hat\rho_\beta^{1/2}$。$\hat\rho_\beta$ は $\hat H$ の関数なので $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ と交換し、右辺は $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}(A\hat\rho_\beta^{1/2})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$。つまり $U_tX=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}X\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ で、生成子は $\hat LX=\hat HX-X\hat H$。(8.2.6) で $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$ に移すと $\hat L=\hat H\otimes1-1\otimes\hat H^{\mathsf T}$。$\hat H$ の固有値は $\mp\hbar\Omega'/2$ なので、$\hat L$ の固有値はその差 $\{0,0,+\hbar\Omega',-\hbar\Omega'\}$ である。$\hat L\xi_\beta=\hat H\hat\rho_\beta^{1/2}-\hat\rho_\beta^{1/2}\hat H=0$ で、巡回ベクトルは固有値 $0$ の固有ベクトルの1つになっている。下に有界でない $-\hbar\Omega'$ が現れるのは、表現が可約（混合状態）だからである。

(4) $\lVert \eta\rVert ^2=\omega_\beta(\sigma_x^2)=1$ で、ベクトル状態は $\langle \eta,\,\pi(A)\eta\rangle =\omega_\beta(\sigma_xA\sigma_x)$。$\sigma_x\sigma_x\sigma_x=\sigma_x$、$\sigma_x\sigma_y\sigma_x=-\sigma_y$、$\sigma_x\sigma_z\sigma_x=-\sigma_z$ なのでBloch ベクトルは $(r_x,-r_y,-r_z)=(0.48,0,-0.64)$。これは $\bm{r}$ を $x$ 軸のまわりに角度 $\pi$ 回したもので、同じ GNS 空間のベクトルが別の状態を表している。

(5) $\bm{n}=(0.6,0,0.8)$ は $y$ 成分が $0$ なので $| \pm_{\bm{n}} \rangle$ は実ベクトルにとれ、$| \overline{\pm_{\bm{n}}} \rangle =| \pm_{\bm{n}} \rangle$。(8.2.7) から$\Phi(\hat\rho_\beta^{1/2})=\sqrt{0.9}| +_{\bm{n}} \rangle \otimes| +_{\bm{n}} \rangle +\sqrt{0.1}| -_{\bm{n}} \rangle \otimes| -_{\bm{n}} \rangle$。2つ目の因子のユニタリ $\hat V=| 0 \rangle \langle +_{\bm{n}} |+| 1 \rangle \langle -_{\bm{n}} |$ で $(1\otimes\hat V)\Phi(\hat\rho_\beta^{1/2})=| \Psi_\beta \rangle$ となる。$1\otimes\hat V$ は $\pi(A)=A\otimes1$ と交換するので、2つの3つ組 $(\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2,A\otimes1,\Phi(\hat\rho_\beta^{1/2}))$ と $(\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2,A\otimes1,| \Psi_\beta \rangle )$ を結ぶユニタリになっている。定理 8.2.1 の一意性が保証するユニタリがこれであり、前の章で手で選んだ浄化は GNS 表現と同じものである。