この章のまとめ

(1) $\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ はエルミート行列 $\hat H$ の実数値関数なので正定値で、$\hat\rho_\beta\coloneqq\mathrm{e}^{-\beta\hat H}/Z$ は $\hat\rho_\beta\ge0$、$\operatorname{Tr}\hat\rho_\beta=1$ を満たす。定理 8.1.7 の逆向きにより $\omega_\beta(A)=\operatorname{Tr}(\hat\rho_\beta A)$ は状態である。$\hat H=-\tfrac{\hbar\Omega'}2\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}$ と $(\bm{n}\cdot\bm{\sigma})^2=1$ から、$x\coloneqq\beta\hbar\Omega'/2$ として

$$\mathrm{e}^{-\beta\hat H}=\mathrm{e}^{x\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}}=\cosh x\cdot1+\sinh x\;\bm{n}\cdot\bm{\sigma} ,\qquad Z=2\cosh x .$$

$\operatorname{Tr}\sigma_i=0$、$\operatorname{Tr}(\sigma_i\sigma_j)=2\delta_{ij}$ より $\omega_\beta(\sigma_i)=2\sinh x\,n_i/Z=\tanh x\;n_i$、つまり $\bm{r}=\tanh x\;\bm{n}$。$x=\ln3$ では $\tanh x=(9-1)/(9+1)=0.8$、$\cosh x=(3+\tfrac13)/2=\tfrac53$ なので、$\bm{r}=0.8\,(0.6,0,0.8)=(0.48,0,0.64)$、$Z=\tfrac{10}3$。$\lvert \bm{r}\rvert =0.8<1$ なので混合状態である。

(2) $\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ は $\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ と交換するので、トレースの巡回性から$\omega_\beta(\alpha_t(A))=\operatorname{Tr}(\mathrm{e}^{-\beta\hat H}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar})/Z=\operatorname{Tr}(\mathrm{e}^{-\beta\hat H}A)/Z=\omega_\beta(A)$。一方 $\omega_e$ の Bloch ベクトルは $(0,0,1)$ で、$\bm{n}=(0.6,0,0.8)$ と平行でない。(8.1.8) の回転で $\bm{n}$ のまわりを回るので、$\omega_e(\alpha_t(\sigma_z))$ は $\Delta^2/\Omega'^2+(\Omega^2/\Omega'^2)\cos\Omega't=0.64+0.36\cos\Omega't$ となり、$t$ によって変わる。

(3) $C^*(\sigma_z)$ は $1$ と $\sigma_z$ の線形結合の全体で、射影 $P_\pm=\tfrac12(1\pm\sigma_z)$ が $\sigma(\sigma_z)=\{\pm1\}$ の2点の上の関数（1点で $1$、他方で $0$）にあたる。確率は $\omega_\beta(P_+)=(1+r_z)/2=(1+0.64)/2=0.82$、$\omega_\beta(P_-)=0.18$ である。

(4) トレースの巡回性を使うと

$$\begin{aligned} \omega_\beta\bigl(A\,\mathrm{e}^{-\beta\hat H}B\,\mathrm{e}^{\beta\hat H}\bigr)&=\frac1Z\operatorname{Tr}\bigl(\mathrm{e}^{-\beta\hat H}A\,\mathrm{e}^{-\beta\hat H}B\,\mathrm{e}^{\beta\hat H}\bigr)\\ &=\frac1Z\operatorname{Tr}\bigl(A\,\mathrm{e}^{-\beta\hat H}B\bigr)=\frac1Z\operatorname{Tr}\bigl(\mathrm{e}^{-\beta\hat H}BA\bigr)=\omega_\beta(BA). \end{aligned}$$

2つ目の等号で $\mathrm{e}^{\beta\hat H}$ を先頭へ回して $\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ と打ち消し、3つ目の等号で $A$ を末尾へ回した。この関係は $\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ という密度行列を使わず、$\omega_\beta$ と $\alpha_t$ だけで書かれている。$\hat H$ や $\operatorname{Tr}$ が使えない無限系でも意味をもつので、第8部第4章ではこれを熱平衡状態の定義に使う。

(5) $\hat\rho_\beta$ の固有値は $\tfrac12(1\pm\lvert \bm{r}\rvert )=0.9,\ 0.1$ で、固有ベクトルは $\bm{n}\cdot\bm{\sigma}$ の固有値 $\pm1$ のもの $| +_{\bm{n}} \rangle$、$| -_{\bm{n}} \rangle$ である。例題 8.1.6 と同じく

$$| \Psi_\beta \rangle \coloneqq\sqrt{0.9}\,| +_{\bm{n}} \rangle \otimes| 0 \rangle +\sqrt{0.1}\,| -_{\bm{n}} \rangle \otimes| 1 \rangle$$

（2つ目の因子は正規直交基底でありさえすればよいので、$| 0 \rangle ,| 1 \rangle$ をとった）とおくと、$\langle \Psi_\beta | A\otimes1 | \Psi_\beta \rangle =0.9\langle +_{\bm{n}} | A | +_{\bm{n}} \rangle +0.1\langle -_{\bm{n}} | A | -_{\bm{n}} \rangle =\operatorname{Tr}(\hat\rho_\beta A)=\omega_\beta(A)$。2つ目の系に制限した状態の固有値も $\{0.9,0.1\}$ で、浄化の2つの側は同じスペクトルをもつ。熱平衡状態を「2倍の系の純粋状態の片側」として書くこの形は、熱場二重状態と呼ばれ、第8部第4章で KMS 状態の GNS 表現として再び現れる。