この章のまとめ

(1) $W$ は $\hat\rho$ について線形なので、(5.4.4) の $W_0=\frac{1}{\pi\hbar}\mathrm{e}^{-u}$ と $W_1=-\frac{1}{\pi\hbar}\mathrm{e}^{-u}(1-2u)$ から

$$W=\frac{1}{\pi\hbar}\mathrm{e}^{-u}\bigl((1-p)-p(1-2u)\bigr)=\frac{1}{\pi\hbar}\mathrm{e}^{-u}(1-2p+2pu).$$

原点では $W(0,0)=(1-2p)/(\pi\hbar)$。$\hat\Pi| 0 \rangle =| 0 \rangle$、$\hat\Pi| 1 \rangle =-| 1 \rangle$ なので $\operatorname{Tr}(\hat\rho_p\hat\Pi)=(1-p)-p=1-2p$ で、(5.4.2) と一致する。

(2) $1-2p+2pu<0$ は $u<u_0=\frac{2p-1}{2p}$ で、$u_0>0$ となるのは $p>1/2$ のときである。$p\le1/2$ なら $W\ge0$。$p>1/2$ では、$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} u}\bigl(-\mathrm{e}^{-u}(1+2pu)\bigr)=\mathrm{e}^{-u}(1-2p+2pu)$ を使って

$$\int_{W<0}W\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=\int_0^{u_0}\mathrm{e}^{-u}(1-2p+2pu)\,\mathrm{d} u=1-\mathrm{e}^{-u_0}(1+2pu_0)=1-2p\,\mathrm{e}^{-(2p-1)/(2p)}$$

（$1+2pu_0=2p$ を使った）。(5.4.5) から

$$\delta(p)=2\bigl(2p\,\mathrm{e}^{-(2p-1)/(2p)}-1\bigr)\quad(p>1/2),\qquad \delta(p)=0\quad(p\le1/2).$$

$p=1$ で $\delta_1=0.4261$（例題 5.4.1）に戻り、$p=1/2$ で $0$ に連続につながる。$p=0.8$ では $u_0=0.375$、$\delta=2(1.6\,\mathrm{e}^{-0.375}-1)=0.1993$。

(3) $p=1/2$ では $W=\frac{1}{\pi\hbar}u\,\mathrm{e}^{-u}\ge0$ で、原点で $0$ になるので Gauss 関数でない。Hudson の定理は純粋状態についての定理である。$\operatorname{Tr}\hat\rho_p^2=(1-p)^2+p^2$ は $p=1/2$ で $1/2$ で、この状態は純粋でないので定理の仮定を満たさない。純粋になるのは $p=0$（Gauss の $W_0$）と $p=1$（負の値を持つ $W_1$）だけで、どちらも定理と整合する。

(4) 命題 5.4.2 の右辺で $\hat\sigma=| 0 \rangle \langle 0 |$ と置くと $\bar W=\langle \alpha | \hat\rho_p | \alpha \rangle /(2\pi\hbar)$ で、$\lvert \langle \alpha | 0 \rangle \rvert ^2=\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2}$、$\lvert \langle \alpha | 1 \rangle \rvert ^2=\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2}\lvert \alpha\rvert ^2$ から

$$\bar W=\frac{1}{2\pi\hbar}\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2}\bigl((1-p)+p\lvert \alpha\rvert ^2\bigr),\qquad \lvert \alpha\rvert ^2=\frac u2 .$$

$0\le p\le1$ なら括弧の中は非負で、$\bar W\ge0$。$p=1$ でも原点で $0$ に下がるだけで負にならない。

(5) $\hat H=\hbar\omega\hat n$ は $| 0 \rangle \langle 0 |$・$| 1 \rangle \langle 1 |$ と交換するので、ハミルトニアンの項は $\hat\rho_p$ の形の状態を動かさない。緩和の項は $\hat a| 1 \rangle \langle 1 |\hat a^\dagger=| 0 \rangle \langle 0 |$、$\hat a| 0 \rangle =0$、$\{\hat a^\dagger\hat a,| 1 \rangle \langle 1 |\}_+=2| 1 \rangle \langle 1 |$、$\hat a^\dagger\hat a| 0 \rangle =0$ から

$$\Gamma\bigl(p| 0 \rangle \langle 0 |-p| 1 \rangle \langle 1 |\bigr)$$

で、やはり $\hat\rho_p$ の形の中に収まる。したがって $\hat\rho(t)=\hat\rho_{p(t)}$ で、$\mathrm{d} p/\mathrm{d} t=-\Gamma p$、$p(0)=1$ から $p(t)=\mathrm{e}^{-\Gamma t}$。(2) から負の値が消えるのは $p=1/2$ のときで、$t_*=\ln2/\Gamma=T_1\ln2$（$T_1=1/\Gamma$ はエネルギー緩和時間）。光子1個の状態は、エネルギー緩和時間の約 $0.69$ 倍で負の値を失う。

(6) 偶数は $n=0$、奇数は $n=1$ だけなので $P_{\text{偶}}=1-p$、$P_{\text{奇}}=p$。(5.4.17) から $W(0,0)=\frac{1}{\pi\hbar}(P_{\text{偶}}-P_{\text{奇}})=\frac{1-2p}{\pi\hbar}$ で、(1) と一致する。$W(0,0)<0$ は「奇数の確率が偶数の確率より大きい」ことに当たる。測っている $P_{\text{偶}}$ と $P_{\text{奇}}$ はどちらも非負の確率で、負になっているのはその差である。