量子力学の様々な構成方法 第10部 第6章 §10.6.4 ★★★ 正則偏極の Hilbert 空間に関数を掛けて射影し直す Toeplitz 作用素は、偏極を保たない関数も演算子にする。その積の記号が反正規順序の ⋆ \star ⋆ ℏ \hbar ℏ
偏極を保たない関数を演算子にする
第10部第4章の正則偏極では、偏極した切断が F ( z ) e − ∣ z ∣ 2 / 2 F(z)\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert ^2/2} F ( z ) e − ∣ z ∣ 2 /2 F F F ⟨ F , G ⟩ = ∫ F ‾ G e − ∣ z ∣ 2 d 2 z / π \langle F,\,G\rangle =\int\overline{F}G\,\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert ^2}\mathrm{d}^2z/\pi ⟨ F , G ⟩ = ∫ F G e − ∣ z ∣ 2 d 2 z / π 第10部第4章 ）。この空間の上で直接量子化できるのは偏極を保つ c + α z + α ˉ z ˉ + β ∣ z ∣ 2 c+\alpha z+\bar\alpha\bar z+\beta\lvert z\rvert ^2 c + α z + α ˉ z ˉ + β ∣ z ∣ 2 z 2 z^2 z 2 q 4 q^4 q 4 f f f Π h o l \Pi_{\mathrm{hol}} Π hol 1 1 F. A. Berezin (1975), “General concept of quantization”, Commun. Math. Phys. 40 , 153–174。
T ^ f F = Π h o l ( f F ) . (10.6.15) \hat T_fF=\Pi_{\mathrm{hol}}(fF).\tag{10.6.15} T ^ f F = Π hol ( f F ) . ( 10.6.15 )
T ^ f \hat T_f T ^ f f f f Toeplitz 作用素 と呼ぶ。射影を挟むので、T ^ f \hat T_f T ^ f
補題 10.6.5（z ˉ \bar z z ˉ
正則関数 G G G Π h o l ( z ˉ G ) = G ′ \Pi_{\mathrm{hol}}(\bar zG)=G' Π hol ( z ˉ G ) = G ′
証明 単項式 z k z^k z k ∫ ∣ z ∣ 2 n e − ∣ z ∣ 2 d 2 z / π = n ! \int\lvert z\rvert ^{2n}\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert ^2}\mathrm{d}^2z/\pi=n! ∫ ∣ z ∣ 2 n e − ∣ z ∣ 2 d 2 z / π = n ! z ˉ a z b \bar z^az^b z ˉ a z b a = b a=b a = b ⟨ z k , z j ⟩ = j ! δ k j \langle z^k,\,z^j\rangle =j!\,\delta_{kj} ⟨ z k , z j ⟩ = j ! δ k j ⟨ z k , z ˉ z j ⟩ = ∫ z ˉ k + 1 z j e − ∣ z ∣ 2 d 2 z / π = j ! δ k + 1 , j \langle z^k,\,\bar zz^j\rangle =\int\bar z^{k+1}z^j\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert ^2}\mathrm{d}^2z/\pi=j!\,\delta_{k+1,j} ⟨ z k , z ˉ z j ⟩ = ∫ z ˉ k + 1 z j e − ∣ z ∣ 2 d 2 z / π = j ! δ k + 1 , j ⟨ z k , j z j − 1 ⟩ = j ( j − 1 ) ! δ k , j − 1 = j ! δ k + 1 , j \langle z^k,\,jz^{j-1}\rangle =j\,(j-1)!\,\delta_{k,j-1}=j!\,\delta_{k+1,j} ⟨ z k , j z j − 1 ⟩ = j ( j − 1 )! δ k , j − 1 = j ! δ k + 1 , j
補題から T ^ z = z \hat T_z=z T ^ z = z T ^ z ˉ = d / d z \hat T_{\bar z}=\mathrm{d}/\mathrm{d} z T ^ z ˉ = d / d z a ^ † \hat a^\dagger a ^ † a ^ \hat a a ^ T ^ z m z ˉ n F = Π h o l ( z ˉ n z m F ) = ( d / d z ) n ( z m F ) \hat T_{z^m\bar z^n}F=\Pi_{\mathrm{hol}}(\bar z^n\,z^mF)=(\mathrm{d}/\mathrm{d} z)^n(z^mF) T ^ z m z ˉ n F = Π hol ( z ˉ n z m F ) = ( d / d z ) n ( z m F )
T ^ z m z ˉ n = a ^ n a ^ † m (10.6.16) \hat T_{z^m\bar z^n}=\hat a^n\hat a^{\dagger m}\tag{10.6.16} T ^ z m z ˉ n = a ^ n a ^ † m ( 10.6.16 )
となる。a ^ \hat a a ^ f f f T ^ f \hat T_f T ^ f
定理 10.6.6（Toeplitz 作用素の積は反正規順序の ⋆ \star ⋆
平面の正則偏極で、z , z ˉ z,\bar z z , z ˉ f , g f,g f , g
T ^ f T ^ g = T ^ f ⋆ A g (10.6.17) \hat T_f\hat T_g=\hat T_{f\star_{\mathrm A}g}\tag{10.6.17} T ^ f T ^ g = T ^ f ⋆ A g ( 10.6.17 )
が成り立つ。とくに [ T ^ f , T ^ g ] − i ℏ T ^ { f , g } [\hat T_f,\hat T_g]-\mathrm{i}\hbar\,\hat T_{\{f,g\}} [ T ^ f , T ^ g ] − i ℏ T ^ { f , g } ℏ 2 \hbar^2 ℏ 2
証明 式 (10.6.16) から、f ↦ T ^ f f\mapsto\hat T_f f ↦ T ^ f ⋆ A \star_{\mathrm A} ⋆ A (10.6.17) が従う。交換子は f ⋆ A g − g ⋆ A f f\star_{\mathrm A}g-g\star_{\mathrm A}f f ⋆ A g − g ⋆ A f i ℏ { f , g } \mathrm{i}\hbar\{f,g\} i ℏ { f , g } z z z ℏ − 1 / 2 \hbar^{-1/2} ℏ − 1/2 ∣ z ∣ 2 \lvert z\rvert ^2 ∣ z ∣ 2 ℏ \hbar ℏ
コンパクトな Kähler 多様体でも、正則な切断の空間（線束のテンソル冪を取って ℏ → 0 \hbar\to0 ℏ → 0 ∥ [ T ^ f , T ^ g ] − i ℏ T ^ { f , g } ∥ = O ( ℏ 2 ) \lVert [\hat T_f,\hat T_g]-\mathrm{i}\hbar\hat T_{\{f,g\}}\rVert =\mathcal{O}(\hbar^2) ∥[ T ^ f , T ^ g ] − i ℏ T ^ { f , g } ∥ = O ( ℏ 2 ) 2 2 M. Bordemann, E. Meinrenken, M. Schlichenmaier (1994), “Toeplitz quantization of Kähler manifolds and g l ( N ) gl(N) g l ( N ) N → ∞ N\to\infty N → ∞ 165 , 281–296。T ^ f T ^ g \hat T_f\hat T_g T ^ f T ^ g T ^ \hat T T ^ ℏ \hbar ℏ ⋆ \star ⋆ ⋆ \star ⋆ (10.6.6) の ⋆ A \star_{\mathrm A} ⋆ A
3通りの量子化を並べる
偏極を保つ関数 ℏ ω ∣ z ∣ 2 \hbar\omega\lvert z\rvert ^2 ℏ ω ∣ z ∣ 2 d z \mathrm{d} z d z 第10部第5章 ）。Toeplitz 作用素はこのうち反正規順序の行に入り、T ^ ∣ z ∣ 2 = a ^ a ^ † = a ^ † a ^ + 1 \hat T_{\lvert z\rvert ^2}=\hat a\hat a^\dagger=\hat a^\dagger\hat a+1 T ^ ∣ z ∣ 2 = a ^ a ^ † = a ^ † a ^ + 1 10.6.1 に3つのスペクトルを並べた。
図 10.6.1 同じ関数 H = ℏ ω ∣ z ∣ 2 H=\hbar\omega\lvert z\rvert ^2 H = ℏ ω ∣ z ∣ 2 ⋆ \star ⋆ ℏ ω \hbar\omega ℏ ω 0 0 0 1 2 ℏ ω \frac12\hbar\omega 2 1 ℏ ω ℏ ω \hbar\omega ℏ ω
例題 10.6.4 偏極を保たない2次式の Toeplitz 作用素 ★★★
オリジナル f = z ˉ 2 f=\bar z^2 f = z ˉ 2 g = z 2 g=z^2 g = z 2
(1) [ T ^ z ˉ 2 , T ^ z 2 ] [\hat T_{\bar z^2},\hat T_{z^2}] [ T ^ z ˉ 2 , T ^ z 2 ] a ^ , a ^ † \hat a,\hat a^\dagger a ^ , a ^ † (2) i ℏ { z ˉ 2 , z 2 } \mathrm{i}\hbar\{\bar z^2,z^2\} i ℏ { z ˉ 2 , z 2 } T ^ i ℏ { z ˉ 2 , z 2 } \hat T_{\mathrm{i}\hbar\{\bar z^2,z^2\}} T ^ i ℏ { z ˉ 2 , z 2 } (3) 同じ関数を Weyl 量子化すると、交換子と括弧が厳密に一致することを確かめよ。
解答 (1) T ^ z ˉ 2 = a ^ 2 \hat T_{\bar z^2}=\hat a^2 T ^ z ˉ 2 = a ^ 2 T ^ z 2 = a ^ † 2 \hat T_{z^2}=\hat a^{\dagger2} T ^ z 2 = a ^ † 2 [ a ^ 2 , a ^ † 2 ] [\hat a^2,\hat a^{\dagger2}] [ a ^ 2 , a ^ † 2 ] [ a ^ 2 , a ^ † ] = 2 a ^ [\hat a^2,\hat a^\dagger]=2\hat a [ a ^ 2 , a ^ † ] = 2 a ^ [ a ^ 2 , a ^ † 2 ] = a ^ † [ a ^ 2 , a ^ † ] + [ a ^ 2 , a ^ † ] a ^ † = 2 ( a ^ † a ^ + a ^ a ^ † ) = 4 a ^ † a ^ + 2 [\hat a^2,\hat a^{\dagger2}]=\hat a^\dagger[\hat a^2,\hat a^\dagger]+[\hat a^2,\hat a^\dagger]\hat a^\dagger=2(\hat a^\dagger\hat a+\hat a\hat a^\dagger)=4\hat a^\dagger\hat a+2 [ a ^ 2 , a ^ † 2 ] = a ^ † [ a ^ 2 , a ^ † ] + [ a ^ 2 , a ^ † ] a ^ † = 2 ( a ^ † a ^ + a ^ a ^ † ) = 4 a ^ † a ^ + 2
(2) 式 (10.6.5) で f z ˉ g z = 2 z ˉ ⋅ 2 z = 4 ∣ z ∣ 2 f_{\bar z}g_z=2\bar z\cdot2z=4\lvert z\rvert ^2 f z ˉ g z = 2 z ˉ ⋅ 2 z = 4 ∣ z ∣ 2 f z g z ˉ = 0 f_zg_{\bar z}=0 f z g z ˉ = 0 { z ˉ 2 , z 2 } = − 4 i ℏ ∣ z ∣ 2 \{\bar z^2,z^2\}=-\frac{4\mathrm{i}}{\hbar}\lvert z\rvert ^2 { z ˉ 2 , z 2 } = − ℏ 4 i ∣ z ∣ 2 i ℏ { z ˉ 2 , z 2 } = 4 ∣ z ∣ 2 \mathrm{i}\hbar\{\bar z^2,z^2\}=4\lvert z\rvert ^2 i ℏ { z ˉ 2 , z 2 } = 4 ∣ z ∣ 2 T ^ 4 ∣ z ∣ 2 = 4 a ^ a ^ † = 4 a ^ † a ^ + 4 \hat T_{4\lvert z\rvert ^2}=4\hat a\hat a^\dagger=4\hat a^\dagger\hat a+4 T ^ 4 ∣ z ∣ 2 = 4 a ^ a ^ † = 4 a ^ † a ^ + 4 2 2 2 z ˉ 2 ⋆ A z 2 − z 2 ⋆ A z ˉ 2 = 4 ∣ z ∣ 2 − 2 \bar z^2\star_{\mathrm A}z^2-z^2\star_{\mathrm A}\bar z^2=4\lvert z\rvert ^2-2 z ˉ 2 ⋆ A z 2 − z 2 ⋆ A z ˉ 2 = 4 ∣ z ∣ 2 − 2 − 2 -2 − 2 ℏ 2 \hbar^2 ℏ 2 ∣ z ∣ 2 ∝ 1 / ℏ \lvert z\rvert ^2\propto1/\hbar ∣ z ∣ 2 ∝ 1/ℏ ∣ z ∣ 2 \lvert z\rvert ^2 ∣ z ∣ 2 ℏ \hbar ℏ
(3) z ˉ 2 \bar z^2 z ˉ 2 z 2 z^2 z 2 a ^ 2 \hat a^2 a ^ 2 a ^ † 2 \hat a^{\dagger2} a ^ † 2 4 a ^ † a ^ + 2 4\hat a^\dagger\hat a+2 4 a ^ † a ^ + 2 4 ∣ z ∣ 2 4\lvert z\rvert ^2 4 ∣ z ∣ 2 T N ( 4 ∣ z ∣ 2 ) = 4 ∣ z ∣ 2 + 2 \mathcal T_{\mathrm N}(4\lvert z\rvert ^2)=4\lvert z\rvert ^2+2 T N ( 4 ∣ z ∣ 2 ) = 4 ∣ z ∣ 2 + 2 4 a ^ † a ^ + 2 4\hat a^\dagger\hat a+2 4 a ^ † a ^ + 2
1 F. A. Berezin (1975), “General concept of quantization”, Commun. Math. Phys. 40 , 153–174。
2 M. Bordemann, E. Meinrenken, M. Schlichenmaier (1994), “Toeplitz quantization of Kähler manifolds and g l ( N ) gl(N) g l ( N ) N → ∞ N\to\infty N → ∞ 165 , 281–296。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
