この章のまとめ

(1) 標準束は $\mathrm{d} z_1\wedge\mathrm{d} z_2$ の倍で、$X_H=\mathrm{i}\omega\sum_a(z_a\partial_{z_a}-\bar z_a\partial_{\bar z_a})$ から $L_{X_H}(\mathrm{d} z_1\wedge\mathrm{d} z_2)=2\mathrm{i}\omega\,\mathrm{d} z_1\wedge\mathrm{d} z_2$。補正は $-\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}\cdot2\mathrm{i}\omega=\hbar\omega$ で

$$\hat H=\hbar\omega\Bigl(z_1\frac{\partial }{\partial z_1}+z_2\frac{\partial }{\partial z_2}+1\Bigr).$$

$z_1^{n_1}z_2^{n_2}$ が固有関数で、固有値は $\hbar\omega(N+1)$（$N=n_1+n_2$）、縮退度は $n_1=0,\dots,N$ の $N+1$ である。1自由度ごとの零点 $\hbar\omega/2$ が2つ分足されている。

(2) $\{f,g\}=\frac{\mathrm{i}}\hbar\sum_a(f_{z_a}g_{\bar z_a}-f_{\bar z_a}g_{z_a})$ で直接計算すると $\{J_x,J_y\}=J_z$、$\{J_y,J_z\}=J_x$、$\{J_z,J_x\}=J_y$ で、$J_k$ はすべて $H$ と交換する（verify_ch10-05.py）。$X_{J_z}$ の成分は $X^{z_1}=\frac{\mathrm{i}}2z_1$、$X^{z_2}=-\frac{\mathrm{i}}2z_2$ で、$L_{X_{J_z}}(\mathrm{d} z_1\wedge\mathrm{d} z_2)=(\frac{\mathrm{i}}2-\frac{\mathrm{i}}2)\mathrm{d} z_1\wedge\mathrm{d} z_2=0$、補正は0である。$\hat J_z=\frac\hbar2(z_1\partial_{z_1}-z_2\partial_{z_2})$ は $z_1^{n_1}z_2^{n_2}$ に $\frac\hbar2(n_1-n_2)$ を掛け、準位 $N$ の空間で固有値は $\hbar(\frac N2-m)$（$m=0,\dots,N$）、すなわちスピン $j=N/2$ の表現である。$N$ 次の斉次多項式 $z_1^N g(z_2/z_1)$ と $u=z_2/z_1$ の $N$ 次以下の多項式 $g(u)$ の対応で、5節の空間と同じものになる。

(3) $(z_1\bar z_2+z_2\bar z_1)^2-(z_1\bar z_2-z_2\bar z_1)^2+(\lvert z_1\rvert ^2-\lvert z_2\rvert ^2)^2=4\lvert z_1\rvert ^2\lvert z_2\rvert ^2+(\lvert z_1\rvert ^2-\lvert z_2\rvert ^2)^2=(\lvert z_1\rvert ^2+\lvert z_2\rvert ^2)^2$ なので$\lvert \bm{J}\rvert ^2=\frac{\hbar^2}{4}(\lvert z_1\rvert ^2+\lvert z_2\rvert ^2)^2=(H/(2\omega))^2$。$\bm{J}$ は (2) の括弧を満たすので、殻を流れで割った球面の上の括弧は第10部第2章の $\omega_S$ の括弧と同じになる。$E=\hbar\omega(N+1)$ では $S=\hbar(N+1)/2=\hbar(j+\frac12)$（$j=N/2$）で、5節の半形式つきの球面はスピン $S/\hbar-\frac12=j$ を与え、(2) と一致する。

(4) 帽子の面積の条件 $2\pi(S-s)=2\pi\hbar(n+\frac12)$ に $S=\hbar(j+\frac12)$ を入れると $s=\hbar(j-n)$、$n=0,\dots,2j$。(2) の固有値 $\hbar(\frac N2-m)$ と一致する。

(5) 半形式なしでは (1) のスペクトルが $\hbar\omega N$ で、殻の半径は $S=\hbar N/2=j\hbar$、球面の量子化（定理 10.5.6）はスピン $S/\hbar=j$ を与える。半形式つきでは $S=(j+\frac12)\hbar$ で、球面の量子化はスピン $S/\hbar-\frac12=j$ を与える。どちらの約束でも、平面で量子化してから準位 $N$ の空間を取ったものと、殻を割った球面を量子化したものが同じスピン $N/2$ になる。$N=3$ では、半形式つきで $E=4\hbar\omega$、$S=2\hbar$、$j=2-\frac12=\frac32$、次元4。半形式なしで $E=3\hbar\omega$、$S=\frac32\hbar$、$j=\frac32$、次元4。この「量子化と簡約の可換性」は、V. Guillemin と S. Sternberg が一般のコンパクト群の作用について定式化した性質の最も簡単な例である¹1V. Guillemin and S. Sternberg (1982), “Geometric quantization and multiplicities of group representations”, Invent. Math. 67, 515–538.下の脚注へ閉じる。