共通例題①：零点エネルギーは正則偏極の半形式から出る

量子力学の様々な構成方法　第10部 第5章 §10.5.2　★★★ 正則偏極の半形式 $\sqrt{\mathrm{d} z}$ を振動子の流れで運ぶと $\hbar\omega_0/2$ の補正が付き、スペクトルが正答 $\hbar\omega_0(n+\frac12)$ になる。補正なし・半形式・1形式全体の3通りが正規順序・Weyl 順序・反正規順序に当たる

振動子の半形式補正

正則偏極 $\operatorname{span}\{\partial_{\bar z}\}$ の標準束は $\mathrm{d} z$ の倍である。振動子 $H=\hbar\omega_0\lvert z\rvert ^2$ のハミルトンベクトル場は第10部第4章で求めた$X_H=\mathrm{i}\omega_0(z\partial_z-\bar z\partial_{\bar z})$ で、

$$L_{X_H}\mathrm{d} z=\mathrm{d}(\iota_{X_H}\mathrm{d} z)=\mathrm{d}(\mathrm{i}\omega_0z)=\mathrm{i}\omega_0\,\mathrm{d} z,\qquad c_H=\mathrm{i}\omega_0$$

である。補正は $-\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}\cdot\mathrm{i}\omega_0=+\frac{\hbar\omega_0}{2}$ になる。

これで共通例題①のスペクトルが補足の表の正答と一致した。熱平衡の分配関数は

$$Z=\sum_{n\ge0}\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_0(n+\frac12)}=\frac{\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_0/2}}{1-\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_0}}=\frac{1}{2\sinh(\beta\hbar\omega_0/2)},\qquad \langle n \rangle =-\frac{1}{\hbar\omega_0}\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}-\frac12=\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega_0}-1}\tag{10.5.5}$$

で、どちらも正答どおりである。第10部第4章で $Z_{\text{偏極}}$ が正答の $\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega_0/2}$ 倍だった分は、ちょうどこの零点の分である。

偏極を保つ関数の全体で

正則偏極を保つ実関数は $f=c+\alpha z+\bar\alpha\bar z+\beta\lvert z\rvert ^2$（$c,\beta\in\mathbb{R}$）だった。$\iota_{X_f}\mathrm{d} z=X_fz=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}f_{\bar z}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(\bar\alpha+\beta z)$ なので$L_{X_f}\mathrm{d} z=\frac{\mathrm{i}\beta}{\hbar}\mathrm{d} z$、補正は $\beta/2$ の定数である。座標の1次関数（$\alpha$ の項）には補正が付かず、$\hat a^\dagger=z$、$\hat a=\mathrm{d}/\mathrm{d} z$ はそのままで、$\lvert z\rvert ^2$ だけが $z\,\mathrm{d}/\mathrm{d} z+\frac12=\frac12(\hat a^\dagger\hat a+\hat a\hat a^\dagger)$ に量子化される。右辺は $\lvert z\rvert ^2$ の Weyl 順序である。すなわち正則偏極の上の半形式つきの量子化は、偏極を保つ関数の上で Weyl 量子化（第5部。第5部第2章）と一致する。

$\sqrt{\mathrm{d} z}$ の代わりに何も掛けない場合と $\mathrm{d} z$ 全体を掛けた場合を比べると、補正は $0$、$\beta/2$、$\beta$ と並び、$\lvert z\rvert ^2$ はそれぞれ$\hat a^\dagger\hat a$（正規順序）、$\frac12(\hat a^\dagger\hat a+\hat a\hat a^\dagger)$（Weyl 順序）、$\hat a\hat a^\dagger=\hat a^\dagger\hat a+1$（反正規順序）に写る。補足の表で、Glauber–Sudarshan の $P$ が正規順序、Wigner の $W$ が対称順序、Husimi の $Q$ が反正規順序の期待値を与えると書いた3つの順序と同じ並びである。第10部第4章で正則偏極の切断の $\lvert F\rvert ^2/\pi$ が $Q$ 関数になったこととあわせると、正則偏極は3つの順序をすべて内に持ち、半形式がそのうち Weyl 順序を選んでいる。