BKS の対の前因子：位相と偏極への依存は半形式で決まる

量子力学の様々な構成方法　第10部 第5章 §10.5.3　★★ 偏極を移す積分に半形式の対 $(\sqrt\alpha,\sqrt\beta)$ を掛けると、自由粒子の伝播関数の $\sqrt{t}$ への依存と位相 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}$、Bargmann 変換の長さ $\ell$ への依存が決まる

半形式つきの BKS の対

第10部第4章では、偏極 $P'$ の切断を偏極 $P$ の切断に移すために、$P$ の葉に沿って積分した（BKS の対）。半形式つきの切断 $s'\otimes\nu'$ を移すときは、積分の中に半形式の対 (10.5.1) を掛ける：

$$\bigl(\Pi\,s'\otimes\nu'\bigr)({P}\text{ の葉})=N\int_{\text{葉}}s'\,(\nu,\nu')\,\mathrm{d}(\text{葉の座標}).\tag{10.5.6}$$

ここで $\nu$ は $P$ の側の半形式、$N$ は偏極の対によらない正の定数である。$P$ と $P'$ が横断的（共通の方向を持たない）なら、$\bar\alpha\wedge\beta$ は0にならず、対は0でない複素数になる。対の平方根の符号は、偏極を連続に動かしたときに連続になるように選ぶ。

共通例題③の前因子

第10部第4章の式で、位置表示の切断 $\psi(q)$ を自由粒子の流れで時間 $t$ だけ運ぶと、偏極が $P_t=\operatorname{span}\{\frac tm\partial_q+\partial_p\}$ に傾き、鉛直の葉に沿う積分 $\psi_t(q)=c_t\int F_t(q,p)\,\mathrm{d} p$ の前因子 $c_t$ が $\lvert c_t\rvert =\sqrt{t/(2\pi\hbar m)}$ と位相 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}$ を持てば伝播関数に一致した。$P_t$ の標準束は $\alpha_t=\mathrm{d} q-\frac tm\mathrm{d} p$ で、

$$\overline{\mathrm{d} q}\wedge\alpha_t=-\frac tm\,\mathrm{d} q\wedge\mathrm{d} p=-\frac tm\,\omega,\qquad \bigl(\sqrt{\mathrm{d} q},\sqrt{\alpha_t}\bigr)^2=\frac{-t/m}{-\mathrm{i}}=-\mathrm{i}\,\frac tm$$

となる。$t>0$ では平方根は $\pm\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}\sqrt{t/m}$ で、符号は $t>0$ の範囲で連続に選べば一定になる。$t\to0$ で $\psi_t\to\psi$ となる側（主枝の $+$）を取る。$N=1/\sqrt{2\pi\hbar}$ と置けば

$$c_t=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}\sqrt{\frac tm}=\sqrt{\frac{t}{2\pi\mathrm{i}\hbar m}}\tag{10.5.7}$$

で、第10部第4章の式に入れると伝播関数 $K=\sqrt{m/(2\pi\mathrm{i}\hbar t)}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} m(x_f-x_i)^2/(2\hbar t)}$ に完全に一致する。$t<0$ では対は $\mathrm{i}\lvert t\rvert /m$、平方根は $\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\pi/4}\sqrt{\lvert t\rvert /m}$ で、$\mathrm{d} p=\frac{m}{\lvert t\rvert }\mathrm{d} x$（積分の向きが反転する）とあわせると、$K$ の $t<0$ の値 $\sqrt{m/(2\pi\mathrm{i}\hbar t)}=\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\pi/4}\sqrt{m/(2\pi\hbar\lvert t\rvert )}$ が出る。

この計算で、前因子のうち時間への依存 $\sqrt t$ と位相 $\mathrm{e}^{\mp\mathrm{i}\pi/4}$ は半形式の対から決まり、残る定数 $N$ は $t$ によらない。$N$ は「$t\to0$ で $\psi_t\to\psi$」となるように1回だけ決めればよい。位相 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}$ の由来は、2つの実偏極の対が純虚数 $-\mathrm{i} t/m$ になり、その平方根を取ったことにある。これは第3部第3章で $\sqrt{\mathrm{i}}$ の枝を $t-\mathrm{i}0$ から決めたこと（第3部第3章）の幾何での言い換えである。

Bargmann 変換の前因子

鉛直の偏極と正則偏極の間では、

$$\overline{\mathrm{d} q}\wedge\mathrm{d} z=\mathrm{d} q\wedge\frac{1}{\sqrt2}\Bigl(\frac{\mathrm{d} q}{\ell}-\mathrm{i}\frac{\ell\,\mathrm{d} p}{\hbar}\Bigr)=-\frac{\mathrm{i}\ell}{\sqrt2\hbar}\,\omega,\qquad \bigl(\sqrt{\mathrm{d} q},\sqrt{\mathrm{d} z}\bigr)^2=\frac{\ell}{\sqrt2\hbar}$$

で、対は正の実数である。半形式は Bargmann 変換に位相を付けず、長さ $\ell$ への依存 $\ell^{1/2}$ だけを付ける。第10部第4章の生の積分（半形式なし）を一般の $\ell$ で行うと、前因子は $1/(\sqrt\pi\,\ell)$、指数は $-\frac12(w^2+q^2/\ell^2)+\sqrt2wq/\ell$ になる。これに $\ell^{1/2}$ を掛けると $\ell^{-1/2}$ に比例し、Bargmann 変換 $(\mathcal B\psi)(w)=(\pi\ell^2)^{-1/4}\int\mathrm{e}^{-(w^2+q^2/\ell^2)/2+\sqrt2wq/\ell}\psi(q)\,\mathrm{d} q$ の前因子と同じ $\ell$ への依存になる。残る比は $\ell$ によらない定数で、第10部第4章で $1/\sqrt\pi$ と $\pi^{-1/4}$ の違いとして残っていたものは、この定数と $\ell$ への依存に分かれる。定数の値は内積の規格化の約束（文献ごとに $2\pi\hbar$ の冪の置き方が違う）で決まり、幾何の内容を持つのは位相と偏極への依存の方である。