Bohr–Sommerfeld 条件と Maslov の $\frac12$

量子力学の様々な構成方法　第10部 第5章 §10.5.4　★★★ エネルギーの等高線で作る実偏極の半形式は、軌道を1周すると符号が反転する。前量子化のホロノミーとあわせると $\oint p\,\mathrm{d} q=2\pi\hbar(n+\frac12)$ が出て、振動子では厳密、一般には WKB の接続公式と同じ条件になる

軌道に沿う偏極

1自由度の束縛運動で、エネルギーの等高線 $H=E$ を葉とする実偏極 $P_H=\operatorname{span}\{X_H\}$ を取る（平衡点では退化するが、そこを除けば偏極である）。第10部第3章で示したとおり、前量子の切断を葉に沿って共変定数にすると、葉を1周したホロノミーは $\exp\bigl(\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\oint p\,\mathrm{d} q\bigr)$ で、偏極した切断はホロノミーが1になる葉（Bohr–Sommerfeld の葉）の上にだけ載る。振動子ではこれが $E=n\hbar\omega_0$ で、$\frac12$ が足りなかった。

$P_H$ の標準束は $\mathrm{d} H$ の倍である（$\mathrm{d} H(X_H)=\{H,H\}=0$）。$L_{X_H}\mathrm{d} H=\mathrm{d}(X_HH)=0$ なので、$\sqrt{\mathrm{d} H}$ は葉に沿って一定に見える。しかし半形式は符号 $\pm$ の選び方を相空間全体で連続に揃えて初めて意味を持ち、その揃え方は平面全体で決まっている（平面では例えば $\sqrt{\mathrm{d} z_s}$ がいたる所で0にならない半形式を与える）。葉の上の $\sqrt{\mathrm{d} H}$ を、平面全体の基準 $\sqrt{\mathrm{d} z_s}$ と比べて測ると、比は対 $(\sqrt{\mathrm{d} z_s},\sqrt{\mathrm{d} H})$ で与えられる。

図 10.5.1　振動子の軌道に沿う半形式の対 $(\sqrt{\mathrm{d} z_s},\sqrt{\mathrm{d} H})^2$（式 (10.5.8)）が複素平面に描く楕円。転回点（$p=0$）で実軸を、$q=0$ で虚軸を横切り、時計回りに原点を1回まわる。転回点から次の転回点までに偏角が $\pi$ 変わるので、半形式の平方根は転回点ごとに $-\pi/2$ ずつ位相を持つ。

半形式つきの Bohr–Sommerfeld 条件

半形式つきの切断 $s\otimes\nu$ が葉の上で一価であるためには、$s$ のホロノミーと $\nu$ のホロノミーの積が1でなければならない。命題 10.5.4 から $\nu$ のホロノミーは $-1$ なので、

$$\exp\Bigl(\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\oint p\,\mathrm{d} q\Bigr)\cdot(-1)=1\quad\Longleftrightarrow\quad\oint p\,\mathrm{d} q=2\pi\hbar\Bigl(n+\frac12\Bigr)\tag{10.5.9}$$

となる。振動子では $\oint p\,\mathrm{d} q=2\pi E/\omega_0$（楕円の面積）なので $E=\hbar\omega_0(n+\frac12)$ で、2節の正則偏極の結果と一致する。前量子化だけでは実偏極も正則偏極も $\hbar\omega_0n$ を与え、半形式を入れると両方とも $\hbar\omega_0(n+\frac12)$ を与える。どちらの段階でも、2つの偏極は同じスペクトルを出す。

一般の閉じた軌道では、平面に描いた曲線の接線が1周で何回まわるかで平方根の符号の変化が決まる。接線の向きの直線（Lagrange 部分空間）が1周で $\mu/2$ 回まわるとき、$\mu$ を軌道の Maslov 指数と呼び、条件は $\oint p\,\mathrm{d} q=2\pi\hbar(n+\mu/4)$ となる。凸な閉曲線では $\mu=2$ で $\frac12$ が出る。多自由度の不変トーラスへの拡張（独立な閉曲線ごとに Maslov 指数を付ける形）は J. B. Keller が WKB の側から与えた¹1J. B. Keller (1958), “Corrected Bohr–Sommerfeld quantum conditions for nonseparable systems”, Ann. Phys. (N.Y.) 4, 180–188.下の脚注へ閉じる。

WKB の接続公式との対応

半形式つきの Bohr–Sommerfeld の葉の切断を、BKS の対で鉛直の偏極（位置表示）へ移すと、WKB の波動関数が出る。

式 (10.5.10) は、右の転回点での WKB の接続公式が与える形（転回点から測った位相に $-\pi/4$）と同じである。第3部第4章で、停留位相の伝播関数が焦点を越えるごとに位相 $-\pi/2$ を持つことを示した（第3部第4章）。図 10.5.1 の転回点ごとの $-\pi/2$ はそれと同じ量で、半形式の平方根が転回点（偏極 $P_H$ が鉛直の偏極と一致する点＝焦点）で枝を移ることにあたる。左の転回点から測った形との整合（2つの転回点の両方で接続公式が成り立つこと）が、ちょうど条件 (10.5.9) である。振動子 $n=6$ で式 (10.5.10) と厳密な固有関数を $\lvert q\rvert <0.8\,q_+$ で比べると、形の相関は $0.9999$ で、$-\pi/4$ を除くと $0.70$ に下がる（verify_ch10-05.py）。

図 10.5.2　$H=p^2/2+q^4$（$\hbar=m=1$）の最初の4準位。点線が厳密な固有値、赤の実線が半形式つきの Bohr–Sommerfeld 条件、青の実線が前量子化だけの条件（$\frac12$ なし）。$\frac12$ を入れると準位の並びがほぼ重なり、ずれは基底状態で最も大きい。