正則偏極：Bargmann–Fock 表示とコヒーレント状態

量子力学の様々な構成方法　第10部 第4章 §10.4.4　★★★ 複素の方向 $\partial/\partial\bar z$ を選ぶと、偏極した切断は $f(z)\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert ^2/2}$ で内積は Bargmann の重みになる。$z$ と $\bar z$ が $\hat a^\dagger$ と $\hat a$ に、振動子が $\hbar\omega_0 z\,\mathrm{d}/\mathrm{d} z$ に量子化される

複素座標と対称なゲージ

調和振動子の長さ $\ell=\sqrt{\hbar/(m\omega_0)}$ を使って、相空間の複素座標を

$$z=\frac{1}{\sqrt2}\Bigl(\frac q\ell-\mathrm{i}\frac{\ell p}{\hbar}\Bigr),\qquad q=\frac{\ell(z+\bar z)}{\sqrt2},\quad p=\frac{\mathrm{i}\hbar(z-\bar z)}{\sqrt2\,\ell}\tag{10.4.13}$$

と置く（$z\propto m\omega_0q-\mathrm{i} p$ で、第2部第4章の Bargmann 表示の $z$ と同じ向き。第2部第4章）。古典の振動子では $\bar z$ が消滅演算子の記号 $a=(q/\ell+\mathrm{i}\ell p/\hbar)/\sqrt2$ にあたる。シンプレクティック形式は

$$\omega=\mathrm{d} q\wedge\mathrm{d} p=-\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d} z\wedge\mathrm{d}\bar z\tag{10.4.14}$$

となる（$\mathrm{d} q\wedge\mathrm{d} p=\frac{\ell}{\sqrt2}\frac{\mathrm{i}\hbar}{\sqrt2\ell}(\mathrm{d} z+\mathrm{d}\bar z)\wedge(\mathrm{d} z-\mathrm{d}\bar z)$ を展開する）。ハミルトンベクトル場は $\iota_{X_f}\omega=\mathrm{d} f$ から $X_f=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\bigl(f_{\bar z}\,\partial_z-f_z\,\partial_{\bar z}\bigr)$ である。

$\theta$ は $\omega$ を変えない範囲で選べるので、$z$ について対称な

$$\theta_{\mathrm s}=\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}\bigl(\bar z\,\mathrm{d} z-z\,\mathrm{d}\bar z\bigr)=\frac12(q\,\mathrm{d} p-p\,\mathrm{d} q)=\theta+\mathrm{d}\Bigl(\frac{qp}{2}\Bigr)\tag{10.4.15}$$

を使う。$\theta_{\mathrm s}$ は実の1形式で、$\mathrm{d}\theta_{\mathrm s}=\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}\bar z\wedge\mathrm{d} z=\omega$。ゲージ変換の規則から、$\theta$ で $F$ と書いていた切断は $\theta_{\mathrm s}$ では $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} qp/(2\hbar)}F$ と書かれる。

偏極した切断と内積

偏極 $P_{\mathrm{hol}}=\operatorname{span}\{\partial_{\bar z}\}$ を取る。$\omega(\partial_z,\partial_{\bar z})=-\mathrm{i}\hbar$ から $\mathrm{i}\,\omega(\partial_z,\partial_{\bar z})=\hbar>0$ で、定義 10.4.2 の正の条件を満たす。$\theta_{\mathrm s}(\partial_{\bar z})=-\mathrm{i}\hbar z/2$ なので $\nabla_{\partial_{\bar z}}=\partial_{\bar z}+z/2$ で、偏極した切断は

$$F(z,\bar z)=f(z)\,\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert ^2/2}\qquad(f\text{ は正則関数})\tag{10.4.16}$$

である（$\partial_{\bar z}\mathrm{e}^{-z\bar z/2}=-\frac z2\mathrm{e}^{-z\bar z/2}$ が $+\frac z2$ と打ち消す）。因子 $\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert ^2/2}$ は、正則関数が増えすぎないように曲率が付けた重みである。前量子の内積 $\int\lvert F\rvert ^2\mathrm{d} q\,\mathrm{d} p/(2\pi\hbar)$ は、$z=X+\mathrm{i} Y$ で $\mathrm{d} q\,\mathrm{d} p=2\hbar\,\mathrm{d} X\,\mathrm{d} Y$（$q=\sqrt2\ell X$、$p=-\sqrt2\hbar Y/\ell$）なので

$$\langle F_1,\,F_2\rangle =\int_{\mathbb{C}}\overline{f_1(z)}\,f_2(z)\,\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert ^2}\,\frac{\mathrm{d}^2z}{\pi}\tag{10.4.17}$$

となる。実偏極と違い、偏極した切断が前量子の空間 $L^2(\mathbb{R}^2)$ にそのまま入り、内積に新しい測度を持ち込む必要がない。式 (10.4.17) は V. Bargmann が導入した解析関数の Hilbert 空間の内積そのもので¹1V. Bargmann (1961), “On a Hilbert space of analytic functions and an associated integral transform. Part I”, Commun. Pure Appl. Math. 14, 187–214。下の脚注へ閉じる、$\langle z^n,\,z^k\rangle =n!\,\delta_{nk}$（第2部第4章の例題）から $z^n/\sqrt{n!}$ が正規直交基底になる。

逆向きの選択 $\operatorname{span}\{\partial_z\}$ では $\mathrm{i}\,\omega(\partial_{\bar z},\partial_z)=-\hbar<0$ で、偏極した切断は $g(\bar z)\mathrm{e}^{+\lvert z\rvert ^2/2}$ になり、0以外は規格化できない。正の条件は、偏極した空間が0にならないための条件である。

量子化できる関数と演算子

$X_f$ が偏極を保つ条件は、$\left[X_f,\,\partial_{\bar z}\right]$ の $\partial_z$ 成分 $-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}f_{\bar z\bar z}$ が0、すなわち $f_{\bar z\bar z}=0$ である。実関数ではさらに $f_{zz}=0$ なので

$$f=c+\alpha z+\bar\alpha\bar z+\beta\lvert z\rvert ^2\qquad(c,\beta\in\mathbb{R},\ \alpha\in\mathbb{C})$$

の形に限られる。座標の1次関数と $\lvert z\rvert ^2$ が量子化でき、$q^2$ や $p^2$ は単独では量子化できない（$q^2$ は $z^2$ と $\bar z^2$ を含む）。演算子は次のとおりである。

• $f=z$：$X_z=-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\partial_{\bar z}$、$\theta_{\mathrm s}(X_z)=-z/2$ で $\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(z)=-\partial_{\bar z}+\frac z2$。式 (10.4.16) に当てると $f\mapsto zf$。
• $f=\bar z$：$X_{\bar z}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\partial_z$、$\theta_{\mathrm s}(X_{\bar z})=-\bar z/2$ で $\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(\bar z)=\partial_z+\frac{\bar z}{2}$。当てると $f\mapsto f'$。

したがって正則偏極の上で $\hat a^\dagger=z$、$\hat a=\mathrm{d}/\mathrm{d} z$ で、これは Bargmann–Fock 表示である（第2部第4章・第1部第3章）。括弧は $\{\bar z,z\}=\omega(X_{\bar z},X_z)=-\mathrm{i}/\hbar$ で、$\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=\mathrm{i}\hbar\{\bar z,z\}=1$ が前量子化の (P3) から出る。

証明

$X_H=\mathrm{i}\omega_0(z\partial_z-\bar z\partial_{\bar z})$、$\theta_{\mathrm s}(X_H)=\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}\bigl(\bar z\cdot\mathrm{i}\omega_0z-z\cdot(-\mathrm{i}\omega_0\bar z)\bigr)=-\hbar\omega_0\lvert z\rvert ^2=-H$ なので$\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(H)=-\mathrm{i}\hbar X_H=\hbar\omega_0(z\partial_z-\bar z\partial_{\bar z})$。$F=f\mathrm{e}^{-z\bar z/2}$ に当てると、$z\partial_zF=(zf'-\frac{z\bar z}2f)\mathrm{e}^{-z\bar z/2}$ と$\bar z\partial_{\bar z}F=-\frac{z\bar z}{2}f\mathrm{e}^{-z\bar z/2}$ の差が $zf'\mathrm{e}^{-z\bar z/2}$ になる。$z\,\mathrm{d}(z^n)/\mathrm{d} z=nz^n$ で、正則関数は $z^n$ の和に展開できるので、固有値はこれで全部である。

第10部第3章の前量子化では、同じハミルトニアンのスペクトルが $\hbar\omega_0\mathbb{Z}$ で、負の値まで含み各準位が無限に縮退していた。正則偏極で余分な因子が落ち、スペクトルは下に有界で縮退のない$\hbar\omega_0n$ になった。共通例題①の正答 $E_n=\hbar\omega_0(n+\frac12)$ との違いは零点の $\frac12$ だけである。分配関数は

$$Z_{\text{偏極}}=\sum_{n\ge0}\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_0n}=\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_0}}=\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega_0/2}\cdot\frac{1}{2\sinh(\beta\hbar\omega_0/2)}$$

で正答と定数倍だけ違い、平均の占有数 $\langle n \rangle =-\frac{1}{\hbar\omega_0}\partial_\beta\ln Z=1/(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega_0}-1)$ は正答と一致する。零点の $\frac12$ は、偏極した切断に「$\sqrt{\mathrm{d} z}$」という半形式を掛ける補正で出ることを第10部第5章で示す（第10部第5章）。

コヒーレント状態は相空間の1点に寄った切断

$\hat a| \alpha \rangle =\alpha| \alpha \rangle$ を満たすコヒーレント状態は、$f'=\alpha f$ の解 $f_\alpha(z)=\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2/2}\mathrm{e}^{\alpha z}$ で表される。偏極した切断の絶対値の2乗は

$$\lvert F_\alpha\rvert ^2=\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2}\lvert \mathrm{e}^{\alpha z}\rvert ^2\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert ^2}=\mathrm{e}^{-\lvert z-\bar\alpha\rvert ^2}\tag{10.4.19}$$

で、$z=\bar\alpha$、すなわち古典の $a=\bar z$ が $\alpha$ に等しい相空間の点を中心とする Gauss 関数である。半径は $\lvert z-\bar\alpha\rvert \sim1$、$(q,p)$ では位置 $\ell/\sqrt2$・運動量 $\hbar/(\sqrt2\ell)$ の幅で、面積 $\pi\hbar$ ほどの円に寄っている（図 10.4.2）。

一般の状態についても、$| \alpha \rangle$ との内積は $\langle F_\alpha,\,F\rangle =\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2/2}f(\bar\alpha)$（正則関数の再生核 $\mathrm{e}^{\alpha z}$ の性質）なので

$$\frac{\lvert \langle \alpha | \psi \rangle \rvert ^2}{\pi}=\frac{\lvert F(\bar\alpha)\rvert ^2}{\pi}\tag{10.4.20}$$

である。左辺は第5部で扱う Husimi の $Q$ 関数（補足の表の $Q(\alpha)=\langle \alpha | \hat\rho | \alpha \rangle /\pi$）で、正則偏極の切断の絶対値の2乗がそのまま $Q$ 関数になる（第5部第6章）。

1　V. Bargmann (1961), “On a Hilbert space of analytic functions and an associated integral transform. Part I”, Commun. Pure Appl. Math. 14, 187–214。