トーラスの偏極：状態の数は $N=eBA/h$

量子力学の様々な構成方法　第10部 第4章 §10.4.5　★★ 整数条件を満たす面積 $A$ のトーラスを偏極すると、実偏極でも正則偏極でも状態の数が $N=\int\omega/(2\pi\hbar)$ になる。一様磁場の案内中心では Landau 準位の縮退 $eBA/h$

設定

第10部第3章の総合問題では、一様磁場 $B$ の中の電荷 $+e$ の粒子の案内中心が平面 $(x,y)$ に住む相空間で、$\omega_B=-eB\,\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y$ であること、平面を周期的に閉じた面積 $A$ のトーラスでは整数条件から $eBA/h\in\mathbb{Z}$ となることを示し、偏極した空間の次元が $N=eBA/h$ になることをこの章へ送った（第10部第3章）。符号を気にせずに済むよう、向きを合わせて $\omega=\kappa\,\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y$（$\kappa>0$）と書き、トーラスを $x\sim x+a$、$y\sim y+b$（面積 $A=ab$）とする。案内中心では $\kappa=eB$ で、$x$ と $y$ の役を入れ替えれば $\omega_B$ の向きになる。整数条件は

$$N=\frac{\kappa ab}{2\pi\hbar}\in\mathbb{Z}_{>0}\tag{10.4.21}$$

である。

トーラスの上の切断

$\theta=-\kappa y\,\mathrm{d} x$ と取る（$\mathrm{d}\theta=\kappa\,\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y$）。$\theta$ は $x$ について周期的だが、$y\to y+b$ で $\theta\to\theta-\kappa b\,\mathrm{d} x=\theta+\mathrm{d}\lambda$（$\lambda=-\kappa bx$）と変わる。トーラスの上の切断は、平面の上の関数で、$y$ 方向に1周したときに第10部第3章のゲージ変換の規則 $F\to\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lambda/\hbar}F$ で貼り合うもの

$$F(x+a,y)=F(x,y),\qquad F(x,y+b)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\kappa bx/\hbar}F(x,y)\tag{10.4.22}$$

として表される。2つの条件が両立する（$x\to x+a$ で位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\kappa ab/\hbar}=\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i} N}=1$）ことが、ちょうど整数条件 (10.4.21) である。

偏極の向きを逆にする（$x+\mathrm{i} y$ の正則関数を取る）と、同じ計算で因子が $\mathrm{e}^{+\kappa y^2/(2\hbar)}$、係数が $\mathrm{e}^{+\pi Nbk^2/a}$ のように増え、0以外の解は無い。正の条件は、ここでも状態が存在するための条件になっている。(ii) の $g$ は Jacobi のテータ関数で、整数 $N$ はトーラスの上の線束の次数（$\omega/(2\pi\hbar)$ の全積分）にあたる。次数 $N$ の正の線束の正則切断が $N$ 個あることは Riemann–Roch の定理の特別な場合で、上の証明はそれを Fourier 級数で直接示したものである。

2つの偏極で次元が一致するのは、状態の数が偏極の選び方によらず、相空間の面積を $2\pi\hbar=h$ で割った数で決まることを示している。案内中心の相空間では $N=eBA/h$ で、これは1つの Landau 準位の縮退度（単位面積あたり $eB/h$。解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第6章）と一致する。$B=1.0008\,\mathrm T$、$A=1\,\mu\mathrm m^2$ では $N=242$ である（第10部第3章の総合問題 (4)）。「相空間の体積 $h^{f_{\mathrm d}}$ あたり1つの状態」という統計力学の数え方が、ここでは偏極した空間の次元として厳密に成り立っている。

図 10.4.3　トーラス（$x\sim x+a$、$y\sim y+b$、$N=5$）の $y$ 方向の実偏極。葉は鉛直の線で、1周のホロノミー $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\kappa bx/\hbar}$ が1になる $N$ 本の葉 $x_k=ka/N$（実線）だけに偏極した切断が載る。点線の葉（例えば $x=(k+\frac12)a/N$）ではホロノミーが $-1$ で、切断は0でなければならない。