共通例題③：自由粒子を実偏極で解く

量子力学の様々な構成方法　第10部 第4章 §10.4.3　★★★ 水平の偏極では自由粒子のハミルトニアンが直接量子化され、平面波が固有状態になる。位置表示へ移すと伝播関数 $K=\sqrt{m/(2\pi\mathrm{i}\hbar t)}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} m(x_f-x_i)^2/(2\hbar t)}$ が出る

運動量表示の偏極で解く

$H=p^2/(2m)$ は $\left[X_H,\,\partial_q\right]=\left[\frac pm\partial_q,\,\partial_q\right]=0$ なので水平の偏極を保つ。前量子の演算子は $X_H=\frac pm\partial_q$、$\theta(X_H)=-p^2/m$ から$\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(H)=-\mathrm{i}\hbar\frac pm\partial_q-\frac{p^2}{2m}$ で、切断 (10.4.6) に当てると $-\mathrm{i}\hbar\frac pm\cdot\frac{\mathrm{i} p}{\hbar}=\frac{p^2}{m}$ の項が加わり

$$\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(H)\bigl(\mathrm{e}^{\mathrm{i} pq/\hbar}\varphi(p)\bigr)=\frac{p^2}{2m}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} pq/\hbar}\varphi(p)\tag{10.4.8}$$

となる。ハミルトニアンは運動量表示で掛け算になり、時間発展は $\varphi(p,t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p^2t/(2m\hbar)}\varphi(p,0)$ である。$\varphi=\delta(p-p_0)$ は固有値 $p_0^2/(2m)$ の固有状態で、式 (10.4.7) で位置表示へ移すと平面波 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} p_0x/\hbar}/\sqrt{2\pi\hbar}$ になる。

伝播関数

初めの状態を位置 $x_i$ に集中した $\psi(x,0)=\delta(x-x_i)$ とする。運動量表示では $\varphi(p,0)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} px_i/\hbar}/\sqrt{2\pi\hbar}$ で、時間 $t$ の後に位置表示へ戻すと

$$K(x_f,t;x_i,0)=\int\frac{\mathrm{d} p}{2\pi\hbar}\exp\Bigl(\frac{\mathrm{i} p(x_f-x_i)}{\hbar}-\frac{\mathrm{i} p^2t}{2m\hbar}\Bigr) =\sqrt{\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar t}}\exp\Bigl(\frac{\mathrm{i} m(x_f-x_i)^2}{2\hbar t}\Bigr)\tag{10.4.9}$$

を得る。2つ目の等号は Gauss 積分 $\int\mathrm{e}^{-Ap^2+\mathrm{i} Bp}\mathrm{d} p=\sqrt{\pi/A}\,\mathrm{e}^{-B^2/(4A)}$ を $A=\mathrm{i} t/(2m\hbar)$（$\operatorname{Re} A\ge0$ の境界。$t$ を $t-\mathrm{i}0$ にずらして収束させる）、$B=(x_f-x_i)/\hbar$ で使ったもので、$\sqrt{\mathrm{i}}$ の枝は $t-\mathrm{i}0$ からの連続性で $\sqrt{\mathrm{i}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}$ と決まる。補足の表の正答③と一致する。

鉛直の偏極から出発する道

位置表示（鉛直の偏極）から出発すると、$H=p^2/(2m)$ は偏極を保たないので、前量子の時間発展は切断を偏極の外へ運ぶ。第10部第3章の時間発展（軌道に沿って運び、作用の位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_t/\hbar}$ を掛ける）を自由粒子で書くと、$\psi(q)$ から出発して

$$F_t(q,p)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} tp^2/(2m\hbar)}\,\psi\Bigl(q-\frac{pt}{m}\Bigr)\tag{10.4.10}$$

となる（$\mathrm{i}\hbar\partial_tF_t=\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(H)F_t$ を直接確かめられる）。$F_t$ は $q$ だけの関数でないが、傾いた方向 $V_t=\frac tm\partial_q+\partial_p$ について

$$\nabla_{V_t}F_t=\frac tm\partial_qF_t+\partial_pF_t-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\frac{pt}{m}F_t=0$$

を満たす。すなわち $F_t$ は、鉛直の偏極を時間 $t$ の流れで運んだ偏極 $P_t=\operatorname{span}\{V_t\}$ について偏極している。図 10.4.1 のように、鉛直の葉 $q=x_i$ は直線 $q=x_i+pt/m$ に傾く。

位置表示に戻すには、2節と同じく鉛直の葉に沿って積分する。$x=q-pt/m$（$\mathrm{d} p=\frac mt\mathrm{d} x$）と置き換えると、$tp^2/(2m\hbar)=m(q-x)^2/(2\hbar t)$ なので

$$\psi_t(q)=c_t\int F_t(q,p)\,\mathrm{d} p=c_t\,\frac mt\int\exp\Bigl(\frac{\mathrm{i} m(q-x)^2}{2\hbar t}\Bigr)\psi(x)\,\mathrm{d} x\tag{10.4.11}$$

となる。核の $x$ への依存は伝播関数 (10.4.9) の指数と同じで、古典の作用 $m(q-x)^2/(2t)$ の位相が出ている。前因子は $\lvert c_t\rvert =\sqrt{t/(2\pi\hbar m)}$ と取ればユニタリになり、さらに位相 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}$ を付けると式 (10.4.9) と完全に一致する。大きさはユニタリ性で決まるが、位相 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}$ は半形式（第10部第5章）の符号で決まり、この節の道具だけでは決まらない。

波束の広がり

運動量表示では時間発展が位相 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p^2t/(2m\hbar)}$ を掛けるだけなので、運動量の分布 $\lvert \varphi(p)\rvert ^2$ は変わらない。初めに位置と運動量の相関がない Gauss 波束（位置の標準偏差 $\sigma_0$、運動量の分散 $\hbar^2/(4\sigma_0^2)$）では、位置の演算子が $\hat x(t)=\hat x+\hat pt/m$ と動き、分散は $\sigma(t)^2=\sigma_0^2+(t/m)^2\hbar^2/(4\sigma_0^2)$、すなわち

$$\sigma(t)^2=\sigma_0^2+\Bigl(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0}\Bigr)^2\tag{10.4.12}$$

となる。図 10.4.1 の言葉では、運動量の幅 $\hbar/(2\sigma_0)$ を持つ帯が剪断で $q$ 方向に $\hbar t/(2m\sigma_0)$ だけ広がる。数値例として、電子（$m=9.109\times10^{-31}\,\mathrm{kg}$）を $\sigma_0=1\,\mathrm{nm}$ に閉じ込めて放すと、$t=100\,\mathrm{fs}$ で $\hbar t/(2m\sigma_0)=5.79\,\mathrm{nm}$、$\sigma(t)=5.87\,\mathrm{nm}$ になる。