実偏極：位置表示・運動量表示と、量子化できる関数

量子力学の様々な構成方法　第10部 第4章 §10.4.2　★★★ 鉛直の偏極 $\operatorname{span}\{\partial_p\}$ は位置表示を、水平の偏極 $\operatorname{span}\{\partial_q\}$ は運動量表示を与える。偏極を保つ関数 $a(q)+b(q)p$ だけが、既約な空間の上で括弧を厳密に保って量子化される

鉛直の偏極は位置表示

1自由度で $P_{\mathrm v}=\operatorname{span}\{\partial_p\}$ を取る（$(q,p)$ 平面の鉛直の直線が葉）。$\theta=-p\,\mathrm{d} q$ は $\theta(\partial_p)=0$ なので $\nabla_{\partial_p}=\partial_p$、偏極した切断は

$$F(q,p)=\psi(q)\tag{10.4.2}$$

で、$p$ によらない $q$ だけの関数である。前量子の演算子をこれに当てると、$f=q$ では $X_q=-\partial_p$、$\theta(X_q)=0$ なので $\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(q)\psi=(q+\mathrm{i}\hbar\partial_p)\psi=q\psi$、$f=p$ では $X_p=\partial_q$、$\theta(X_p)=-p$ なので $\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(p)\psi=-\mathrm{i}\hbar\psi'$ となる。偏極した切断の上で $\hat q=q$、$\hat p=-\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}/\mathrm{d} q$ で、これは基準の位置表示（第1部第3章）そのものである。

第10部第3章の分解で見ると、$F=\psi(q)$ は $\mathcal G(u,v)=\sqrt{2\pi\hbar}\,\psi(u)\delta(v)$ に当たる（$F=\int G(q,s)\mathrm{e}^{\mathrm{i} ps/\hbar}\mathrm{d} s/\sqrt{2\pi\hbar}$ に $G(q,s)=\sqrt{2\pi\hbar}\,\psi(q)\delta(s)$ を入れると $F=\psi(q)$）。偏極は余分な変数を $v=0$ に固定し、$L^2(\mathbb{R}_u)$ の1つ分を取り出している。ただし $\delta(v)$ は $L^2(\mathbb{R}_v)$ に入らないので、偏極した切断は前量子の内積 $\int\lvert F\rvert ^2\mathrm{d} q\,\mathrm{d} p/(2\pi\hbar)$ では規格化できない（$p$ についての積分が発散する）。

内積は葉の空間の上で取る

偏極した切断の $\lvert F\rvert ^2$ は葉に沿って一定なので、内積は葉の全体（ここでは $q$ 軸）の上の積分で取る：

$$\langle \psi_1,\,\psi_2\rangle =\int\overline{\psi_1(q)}\,\psi_2(q)\,\mathrm{d} q.\tag{10.4.3}$$

ここで測度 $\mathrm{d} q$ を選んだことは、$q$ という座標を選んだことに依存する。座標によらない形で内積を決めるには、波動関数に $\sqrt{\lvert \mathrm{d} q\rvert }$（半密度）を掛けた $\psi(q)\sqrt{\lvert \mathrm{d} q\rvert }$ を切断とし、2つの切断の積 $\bar\psi_1\psi_2\lvert \mathrm{d} q\rvert$ を葉の空間の上の密度として積分する。これが第10部第5章で扱う半形式補正の実偏極での姿である（第10部第5章）。この章では、半密度が演算子の形をどう変えるかだけを次の小節で見る。

量子化できる関数

演算子 $\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(f)$ が偏極した切断を偏極した切断に送るためには、$X_f$ の流れが偏極を保つこと、すなわち $\left[X_f,\,\partial_p\right]$ が $\partial_p$ の倍であることが必要十分である（流れで葉を運んだとき葉が葉に移れば、葉の上で共変定数という条件も運ばれる）。$\left[X_f,\,\partial_p\right]=-(\partial_pX_f^q)\partial_q-(\partial_pX_f^p)\partial_p$ で、$X_f^q=f_p$ なので、条件は $f_{pp}=0$、すなわち

$$f(q,p)=a(q)+b(q)\,p\tag{10.4.4}$$

である（第10部第2章の命題 第10部第2章 で示した「鉛直の葉層を保つ関数」と同じ）。このとき $X_f=b\,\partial_q-(a'+b'p)\partial_p$、$\theta(X_f)=-bp$ で、

$$\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(a+bp)=-\mathrm{i}\hbar\,b\,\partial_q+\mathrm{i}\hbar(a'+b'p)\partial_p+a,\qquad \mathcal Q_{\mathrm{pre}}(a+bp)\,\psi(q)=-\mathrm{i}\hbar\,b\,\psi'+a\,\psi$$

となり、$q$ だけの関数は $q$ だけの関数に移る。

ところが $-\mathrm{i}\hbar\,b\,\mathrm{d}/\mathrm{d} q$ は内積 (10.4.3) について対称でない。部分積分で $\langle \psi_1,\,-\mathrm{i}\hbar b\psi_2'\rangle =\langle -\mathrm{i}\hbar b\psi_1',\,\psi_2\rangle +\langle -\mathrm{i}\hbar b'\psi_1,\,\psi_2\rangle$ となり、$b'\neq0$ で余りが出る。半密度 $\sqrt{\lvert \mathrm{d} q\rvert }$ も $X_f$ の流れで運ぶと、運ぶ分の微分として $\sqrt{\lvert \mathrm{d} q\rvert }$ の Lie 微分 $\frac{b'}{2}\sqrt{\lvert \mathrm{d} q\rvert }$ が加わり、演算子は

$$\hat f\,\psi=-\mathrm{i}\hbar\Bigl(b\,\psi'+\frac{b'}{2}\psi\Bigr)+a\,\psi=\frac{b\,\hat p+\hat p\,b}{2}\psi+a\,\psi\tag{10.4.5}$$

になる。右辺は Weyl 順序（第10部第1章の $\mathcal Q_{\mathrm W}[b(q)p]=(b\hat p+\hat pb)/2$）と一致し、対称である。

証明

閉じていること：$\{a_1+b_1p,\,a_2+b_2p\}=(a_1'+b_1'p)b_2-b_1(a_2'+b_2'p)=(a_1'b_2-b_1a_2')+(b_1'b_2-b_1b_2')p$ で、同じ形である。括弧の保存：$a$ の部分は掛け算で互いに交換し、$\left[-\mathrm{i}\hbar(b\partial+\frac{b'}2),\,a_2\right]=-\mathrm{i}\hbar\,b\,a_2'$ が $\mathrm{i}\hbar\cdot(-ba_2')$ の掛け算、すなわち $\mathrm{i}\hbar\,\widehat{\{bp,a_2\}}$ に一致する。$b$ の部分どうしは、$B_j=-\mathrm{i}\hbar(b_j\partial+\frac{b_j'}{2})$ について$\left[B_1,\,B_2\right]=(-\mathrm{i}\hbar)^2\bigl((b_1b_2'-b_2b_1')\partial+\frac12(b_1b_2''-b_2b_1'')\bigr)$ を計算すると、$c=b_1'b_2-b_1b_2'$ として $\mathrm{i}\hbar\cdot(-\mathrm{i}\hbar)(c\,\partial+\frac{c'}{2})$ に等しい（$c'=b_1''b_2-b_1b_2''$ を使う）。これは $\mathrm{i}\hbar\,\widehat{\{b_1p,b_2p\}}$ である。既約性は基準の Schrödinger 表現の既約性（第2部第6章）による。

定理 10.4.3 は、第10部第1章の Groenewold の定理（第10部第1章）の「抜け道」の1つを具体化している。Dirac の要請をすべての関数には課せないが、偏極を保つ関数の代数 $\{a(q)+b(q)p\}$ に絞れば、既約な表現の上で厳密に課せる。この代数には $q$・$p$・$qp$ や $q^2p$ が入るが、$p^2$ は入らない。自由粒子のハミルトニアン $p^2/(2m)$ はこの偏極で直接は量子化できず、3節で別の道を取る。

水平の偏極は運動量表示

$P_{\mathrm h}=\operatorname{span}\{\partial_q\}$ を取ると、$\nabla_{\partial_q}=\partial_q-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}p$ なので、偏極した切断は

$$F(q,p)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} pq/\hbar}\,\varphi(p)\tag{10.4.6}$$

である。$\theta=-p\,\mathrm{d} q$ のゲージでは、運動量の関数 $\varphi(p)$ に平面波の因子 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} pq/\hbar}$ が付いた形になる（ゲージを $\theta'=q\,\mathrm{d} p=\theta+\mathrm{d}(qp)$ に替えれば $F'=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} qp/\hbar}F=\varphi(p)$）。$\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(q)=q+\mathrm{i}\hbar\partial_p$ を当てると $\mathrm{i}\hbar\,\partial_p\mathrm{e}^{\mathrm{i} pq/\hbar}=-q\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} pq/\hbar}$ の項が $q$ を打ち消し、$\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(q)F=\mathrm{e}^{\mathrm{i} pq/\hbar}\,\mathrm{i}\hbar\,\varphi'(p)$。すなわち $\hat q=\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}/\mathrm{d} p$ で、運動量表示である。偏極を保つ関数は $\alpha(p)+\beta(p)q$ に替わる。

2つの偏極の間の移り方は、偏極した切断を葉に沿って積分して決める。運動量表示の切断 (10.4.6) を、鉛直の葉（$q$ を止めて $p$ を動かす）に沿って

$$\psi(q)=\int F(q,p)\,\frac{\mathrm{d} p}{\sqrt{2\pi\hbar}}=\int\mathrm{e}^{\mathrm{i} pq/\hbar}\varphi(p)\,\frac{\mathrm{d} p}{\sqrt{2\pi\hbar}}\tag{10.4.7}$$

と積分すると、$q$ だけの関数、すなわち鉛直の偏極の切断が得られる。これは運動量表示から位置表示への Fourier 変換で、ユニタリである。この「葉に沿って積分して偏極を移す」操作は、R. J. Blattner・B. Kostant・S. Sternberg が一般の偏極の組に定式化したもので、BKS の対（pairing）と呼ばれる¹1R. J. Blattner (1973), “Quantization and representation theory”, Proc. Sympos. Pure Math. 26, 147–165（Amer. Math. Soc.）。下の脚注へ閉じる。前因子 $1/\sqrt{2\pi\hbar}$ を幾何から決めるには半形式が要り、第10部第5章で扱う。

1　R. J. Blattner (1973), “Quantization and representation theory”, Proc. Sympos. Pure Math. 26, 147–165（Amer. Math. Soc.）。