Hubbard 模型：2体の項を Wannier 基底で書く

量子力学の様々な構成方法　第6部 第4章 §6.4.4　★★★ 第2章の2体演算子の公式を Wannier 基底に当て、同じサイトの Coulomb 反発だけを残すと $U\hat n_{\uparrow}\hat n_{\downarrow}$ になる

同じサイトの項だけを残す

結晶の電子を、各サイト $i$ に局在した Wannier 関数 $w_i(\bm{r})$（1つのバンドだけを使う）とスピン $\sigma$ で表す。第2章の定理から、電子系のハミルトニアンは

$$\hat H=\sum_{i,j,\sigma}h_{ij}\,\hat c_{i\sigma}^\dagger\hat c_{j\sigma}+\frac12\sum_{i,j,k,l}\sum_{\sigma,\sigma'}v_{ijkl}\,\hat c_{i\sigma}^\dagger\hat c_{j\sigma'}^\dagger\hat c_{l\sigma'}\hat c_{k\sigma}$$

と書ける（第6部第2章。$v_{ijkl}=\iint w_i^*(\bm{r})w_j^*(\bm{r}')v(\bm{r}-\bm{r}')w_k(\bm{r})w_l(\bm{r}')\,\mathrm{d}^3r\,\mathrm{d}^3r'$、$v$ は遮蔽された Coulomb 反発）。1体の部分の $h_{ij}$ は、隣どうしの $-t$ だけを残す（$\varepsilon _{\mathrm a}$ は定数としてずらす）。2体の部分は、Wannier 関数が局在しているので、4つの添字が同じサイトの $v_{iiii}\eqqcolon U$ が最も大きい。J. Hubbard はこの項だけを残した模型で、狭いバンドの電子の相関を調べた（J. Hubbard (1963), Proc. R. Soc. Lond. A 276, 238）。

同じサイトの項は

$$\frac U2\sum_{\sigma,\sigma'}\hat c_{i\sigma}^\dagger\hat c_{i\sigma'}^\dagger\hat c_{i\sigma'}\hat c_{i\sigma}$$

である。$\sigma=\sigma'$ の項は $\hat c_{i\sigma}\hat c_{i\sigma}=0$（Pauli の排他律が代数の式になったもの。第6部第3章）で消える。$\sigma\neq\sigma'$ の2項は、反交換関係で並べ替えると $\hat c_{i\uparrow}^\dagger\hat c_{i\downarrow}^\dagger\hat c_{i\downarrow}\hat c_{i\uparrow}=\hat n_{i\uparrow}\hat n_{i\downarrow}$ で、もう一方も同じ値なので、和は $U\hat n_{i\uparrow}\hat n_{i\downarrow}$ になる。こうして

$$\hat H_{\mathrm{Hub}}=-t\sum_{\langle ij\rangle,\sigma}\bigl(\hat c_{i\sigma}^\dagger\hat c_{j\sigma}+\hat c_{j\sigma}^\dagger\hat c_{i\sigma}\bigr)+U\sum_i\hat n_{i\uparrow}\hat n_{i\downarrow}\tag{6.4.12}$$

を得る（$\langle ij\rangle$ は隣り合う組を1回ずつ）。同じ向きのスピンの電子は初めから同じサイトに2個入れないので、$U$ の罰を受けるのは逆向きのスピンの対だけである。

(6.4.12) の2つの項は、互いに違う基底で対角になる。ホッピングの項は Bloch の波数 $k$ の基底で対角になり（$\varepsilon _k=-2t\sum_\alpha\cos(k_\alpha a)$）、$U$ の項はサイトの占有数の基底で対角になる。$t\gg U$ なら前の節の Fermi の海が良い真空で、$U\gg t$ なら各サイトに電子が1個ずつ局在した状態が良い出発点になる。どちらの項も同じ大きさのときには、どの真空を選んでも励起が少数の演算子で書けなくなり、この模型の難しさはそこにある。

原子の極限と局所モーメント

$t=0$ のとき、サイトは互いに独立で、各サイトの状態は空 $| 0 \rangle$、上向き1個、下向き1個、2個詰まった状態の4つである。エネルギーは順に $0,0,0,U$ になる。Fock 空間がサイトごとに4次元の積に分かれ、ハミルトニアンが占有数の関数になっているので、熱平衡も直ちに計算できる。

図 6.4.3　原子の極限（$t=0$）の Hubbard 模型の半分詰まりでの局所モーメント $\langle \hat m^2 \rangle$ (6.4.13)。$k_{\mathrm B} T\ll U$ でスピンが各サイトに1個ずつ残り、高温では空・2個詰まりが混ざって $1/2$ に近づく。座標は verify_ch6-04.py で計算した。

$t\neq0$ にすると、隣のサイトへ飛び移る過程が局所モーメントどうしを結ぶ。半分詰まりで $U\gg t$ の極限では、2次の摂動から反強磁性の Heisenberg 模型 $J\hat{\bm{S}}_i\cdot\hat{\bm{S}}_j$（$J=4t^2/U$）が出る。導出は ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第1部第1章と 同 第5部第2章にあり、この章の総合問題でも2サイトで確かめる。6.4.2 節のスピンの模型は、この意味で Hubbard 模型の低エネルギーの部分である。