Bose–Einstein 凝縮：共通例題①に原子を多数入れる

量子力学の様々な構成方法　第6部 第5章 §6.5.4　★★ 3次元の調和トラップでは励起状態に入れるボース粒子の数に上限があり、残りが基底状態に集まる。大正準と正準の違いが現れる所でもある

励起状態の上限

3次元の等方的な調和ポテンシャル（角振動数 $\omega$）の1粒子準位は $\varepsilon _n=\hbar\omega(n+\frac32)$、$n=n_x+n_y+n_z$ で、縮退度は $n_x+n_y+n_z=n$ の解の数

$$g_n=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\tag{6.5.12}$$

である。ボース粒子では $\mu<\varepsilon _0=\frac32\hbar\omega$ なので、励起状態（$n\ge1$）に入る粒子の数は、$\mu$ が $\varepsilon _0$ に近づいたときの値を超えられない：

$$N_{\mathrm{ex}}(\mu)<N_{\mathrm{ex}}(\varepsilon _0)=\sum_{n=1}^\infty\frac{g_n}{\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega n}-1}\eqqcolon N_{\mathrm c}(T).\tag{6.5.13}$$

右辺は $n=0$ を含まないので有限である。全体の粒子数 $N$ が $N_{\mathrm c}(T)$ を超えると、(6.5.10) を満たすには基底状態の占有数$N_0=1/(\mathrm{e}^{\beta(\varepsilon _0-\mu)}-1)$ が残り $N-N_{\mathrm{ex}}$ を引き受けるしかなく、$\mu$ は $\varepsilon _0- k_{\mathrm B} T/N_0$ まで $\varepsilon _0$ に近づく。1つのモードに巨視的な数の粒子が入るこの状態を Bose–Einstein 凝縮と呼ぶ。Bose（1924）が光子の数え方として、Einstein（1924・1925）が原子の気体に広げて予言した（S. N. Bose (1924), Z. Phys. 26, 178；A. Einstein (1924), Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-math. Kl., 261；同 (1925), 3）。

$k_{\mathrm B} T\gg\hbar\omega$ では和を積分に置き換えられる。$g_n=\frac12n^2+\frac32n+1$ と分け、$\int_0^\infty u^{s-1}/(\mathrm{e}^u-1)\,\mathrm{d} u=\Gamma(s)\zeta(s)$ を使うと、$t\coloneqq k_{\mathrm B} T/\hbar\omega$ として

$$N_{\mathrm c}(T)\approx\zeta(3)\,t^3+\frac32\zeta(2)\,t^2,\qquad\zeta(3)=1.2021,\quad\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}\tag{6.5.14}$$

になる。第1項は $\frac12\Gamma(3)\zeta(3)t^3$、第2項は $\frac32\Gamma(2)\zeta(2)t^2$ である。主要項だけで $N_{\mathrm c}(T_{\mathrm c})=N$ を解くと

$$k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}^{(0)}=\hbar\omega\Bigl(\frac{N}{\zeta(3)}\Bigr)^{1/3},\qquad \frac{N_0}{N}=1-\Bigl(\frac{T}{T_{\mathrm c}^{(0)}}\Bigr)^3\quad(T<T_{\mathrm c}^{(0)})\tag{6.5.15}$$

を得る。第2項を1次まで入れると、$t=t_0(1+\delta)$ を $N=\zeta(3)t^3+\frac32\zeta(2)t^2$ に入れて $3\zeta(3)t_0^3\delta+\frac32\zeta(2)t_0^2=0$ から

$$\frac{T_{\mathrm c}-T_{\mathrm c}^{(0)}}{T_{\mathrm c}^{(0)}}\approx-\frac{\zeta(2)}{2\zeta(3)^{2/3}}N^{-1/3}=-0.7275\,N^{-1/3}\tag{6.5.16}$$

となり、有限の $N$ では転移温度が少し下がる（この補正は S. Grossmann and M. Holthaus (1995), Phys. Lett. A 208, 188 とW. Ketterle and N. J. van Druten (1996), Phys. Rev. A 54, 656 が論じた）。

大正準では凝縮体の数が大きく揺らぐ

例題 6.5.1 の1つのモードの分散を基底状態に当てると、大正準の状態では

$$\mathrm{Var}(\hat N_0)=N_0(N_0+1)\tag{6.5.17}$$

で、$N_0$ が数百でも標準偏差が $N_0$ と同じ大きさになる。全体の粒子数 $N$ が決まった閉じたトラップでは、基底状態の粒子数がこれほど揺らぐことはない。これは (6.5.3) の $P(N)\propto z^NZ_N$ が凝縮の下で幅の広い分布になるためで、大正準の状態と、粒子数を固定した第2章の正準の状態が、ここでは同じ結果を与えない。平均の量（$N_0/N$ や内部エネルギー）は2つの状態で熱力学極限に一致するが、凝縮体の数の揺らぎを問う問題では正準の計算（置換の和、または循環展開 (6.5.9) から $z^N$ の係数を取り出す計算）が必要になる。