相互作用の無い系ではモードごとの積に分かれる

補題 6.5.2（Fock 空間の指数法則）

写像 $| n_1,\dots,n_M \rangle \mapsto| n_1 \rangle \otimes\dots\otimes| n_M \rangle$ は、$\mathcal F_\pm(\mathbb{C}^M)$ から1モードの Fock 空間の $M$ 個のテンソル積へのユニタリ写像で、各モードの個数演算子 $\hat n_\alpha=\hat a_\alpha^\dagger\hat a_\alpha$ を、$\alpha$ 番目の因子だけに働く個数演算子 $1\otimes\dots\otimes\hat n\otimes\dots\otimes1$ に移す。

定理 6.5.3（自由な大正準の状態は積の状態 ★★★）

$\hat H=\sum_\alpha\varepsilon _\alpha\hat n_\alpha$（第4章の命題で2次形式を対角化した後の形）とし、ボース粒子では $\mu<\min_\alpha\varepsilon _\alpha$ とする。このとき

$$\hat\rho_{\mathrm G}=\bigotimes_\alpha\frac{\mathrm{e}^{-\beta(\varepsilon _\alpha-\mu)\hat n}}{\Xi_\alpha},\qquad \Xi=\prod_\alpha\Xi_\alpha=\prod_\alpha\bigl(1\mp\mathrm{e}^{-\beta(\varepsilon _\alpha-\mu)}\bigr)^{\mp1}\tag{6.5.7}$$

で、平均の占有数は

$$\langle \hat a_\alpha^\dagger\hat a_{\alpha'} \rangle =\delta_{\alpha\alpha'}\,\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta(\varepsilon _\alpha-\mu)}\mp1} \qquad\bigl(\text{ボースは }n_{\mathrm B}(\varepsilon _\alpha)\text{、フェルミは }f(\varepsilon _\alpha)\bigr)\tag{6.5.8}$$

である。異なるモードの占有数は独立で、$\langle \hat n_\alpha\hat n_{\alpha'} \rangle =\langle \hat n_\alpha \rangle \langle \hat n_{\alpha'} \rangle$（$\alpha\ne\alpha'$）が成り立つ。

命題 6.5.4（循環展開 ★★★）

1粒子の分配関数を $Z_1(\beta)\coloneqq\sum_\alpha\mathrm{e}^{-\beta\varepsilon _\alpha}$ とする。$z\,\mathrm{e}^{-\beta\varepsilon _{\min}}<1$ で

$$\ln\Xi=\sum_{\ell=1}^\infty\frac{(\pm1)^{\ell+1}}{\ell}\,z^\ell\,Z_1(\ell\beta)\tag{6.5.9}$$

が成り立つ。特に $\Xi$ の $z^2$ の係数は $Z_2^\pm=\frac12\bigl[Z_1(\beta)^2\pm Z_1(2\beta)\bigr]$ で、第2章の式（置換の和）と一致する。

例題 6.5.2　3つの準位のフェルミ粒子を数え上げる ★★

オリジナルスピンを持たないフェルミ粒子が入る準位が $0,\ \Delta\varepsilon ,\ 2\Delta\varepsilon$ の3つだけある。$\mu=\Delta\varepsilon$、$\beta\Delta\varepsilon =\ln2$ とする。

1. (1) Fock 空間の8つの基底の状態を書き、$\Xi$ を状態の和で求めよ。定理 6.5.3 の積と一致することを確かめよ。
2. (2) 3つの準位の占有数と $\langle \hat N \rangle$ を求めよ。
3. (3) 粒子数が $N=0,1,2,3$ である確率を求めよ。