1粒子密度行列と2粒子の相関

量子力学の様々な構成方法　第6部 第5章 §6.5.5　★★ 自由な熱平衡の状態は1粒子密度行列だけで決まり（Wick の性質）、2粒子の相関にボースの束とフェルミの反束が現れる。1粒子密度行列は共通例題③の伝播関数の虚時間の値の和になる

2次の Wick の性質

定理 6.5.3 の状態では、1粒子密度行列 $\gamma_{\alpha'\alpha}\coloneqq\langle \hat a_\alpha^\dagger\hat a_{\alpha'} \rangle =\delta_{\alpha\alpha'}\bar n_\alpha$ がすべての相関を決める。2粒子の場合を示す。

証明

状態はモードごとの占有数の基底で対角なので、期待値が 0 でないのは $\hat a_k\hat a_l$ が消した粒子を $\hat a_i^\dagger\hat a_j^\dagger$ が同じモードに戻すとき、すなわち多重集合として $\{k,l\}=\{i,j\}$ のときだけである。$i\ne j$ では2通りある。$k=j$、$l=i$ なら $\hat a_i^\dagger\hat a_j^\dagger\hat a_j\hat a_i=\hat n_i\hat n_j$（異なるモードの演算子は交換または反交換し、符号は2回現れて消える）で、積の状態なので期待値は $\bar n_i\bar n_j$ である。$k=i$、$l=j$ なら $\hat a_i\hat a_j=\pm\hat a_j\hat a_i$ で入れ替えて $\pm\bar n_i\bar n_j$ になる。$i=j=k=l$ では $\langle \hat a^\dagger\hat a^\dagger\hat a\hat a \rangle =\langle \hat n(\hat n-1) \rangle$ で、ボースでは幾何分布の2次の階乗モーメント $2\bar n^2$、フェルミでは $\hat a^2=0$ から 0 である。右辺は $\bar n^2(1\pm1)$ でどちらとも一致する。

場の演算子 $\hat\psi(\bm{r})=\sum_\alpha\varphi_\alpha(\bm{r})\hat a_\alpha$ に直すと、1粒子密度行列（第4部の密度行列を1粒子空間に縮めたもの）は

$$g_1(\bm{r},\bm{r}')\coloneqq\langle \hat\psi^\dagger(\bm{r})\hat\psi(\bm{r}') \rangle =\sum_\alpha\bar n_\alpha\,\varphi_\alpha^*(\bm{r})\varphi_\alpha(\bm{r}')\tag{6.5.19}$$

で、$n(\bm{r})=g_1(\bm{r},\bm{r})$ が密度である。(6.5.18) を4つの和に入れると、2粒子の密度は

$$\langle \hat\psi^\dagger(\bm{r})\hat\psi^\dagger(\bm{r}')\hat\psi(\bm{r}')\hat\psi(\bm{r}) \rangle =n(\bm{r})\,n(\bm{r}')\pm\lvert g_1(\bm{r},\bm{r}')\rvert ^2\tag{6.5.20}$$

になる。$\delta_{il}\delta_{jk}$ の項が独立な2粒子の $n(\bm{r})n(\bm{r}')$ を、$\delta_{ik}\delta_{jl}$ の項が交換の項 $\pm\lvert g_1\rvert ^2$ を与える。同じ場所 $\bm{r}=\bm{r}'$ では交換の項が $n^2$ に等しいので、ボース粒子は $2n^2$（2粒子が同じ場所に来やすい：束）、フェルミ粒子は $0$（来ない：反束）になる。第2章で2粒子の対密度について示した「交換の穴」が、熱平衡の多粒子の状態で $g_1$ の大きさを幅として現れる。光子でこの束を測ったのが Hanbury Brown–Twiss の実験で、光の側の扱いは 光学と量子エレクトロニクス 第32章にある。

1粒子密度行列は共通例題③の虚時間の伝播関数の和

長さ $L$ の1次元の箱の中の自由粒子（周期境界条件、$\varphi_k=\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}/\sqrt L$、$\varepsilon _k=\hbar^2k^2/2m$）で $L\to\infty$ とすると、(6.5.19) は$g_1(x,0)=\int\frac{\mathrm{d} k}{2\pi}\,\bar n(k)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} kx}$ になる。$\bar n(k)=\sum_{\ell\ge1}(\pm1)^{\ell+1}z^\ell\mathrm{e}^{-\ell\beta\varepsilon _k}$（$\lvert z\mathrm{e}^{-\beta\varepsilon _k}\rvert <1$ での等比級数）と展開すると、各項の $k$ の積分は

$$\int\frac{\mathrm{d} k}{2\pi}\,\mathrm{e}^{-\ell\beta\hbar^2k^2/2m}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} kx}=\langle x | \mathrm{e}^{-\ell\beta\hat H} | 0 \rangle =K(x,-\mathrm{i}\ell\beta\hbar;0,0)$$

で、共通例題③の自由粒子の伝播関数 $K=\sqrt{m/(2\pi\mathrm{i}\hbar t)}\exp(\mathrm{i} mx^2/(2\hbar t))$ を虚時間 $t=-\mathrm{i}\ell\beta\hbar$ で読んだものである。熱的 de Broglie 波長 $\lambda_T\coloneqq\sqrt{2\pi\hbar^2\beta/m}=h/\sqrt{2\pi m k_{\mathrm B} T}$ を使うと $\sqrt{m/(2\pi\mathrm{i}\hbar\cdot(-\mathrm{i}\ell\beta\hbar))}=1/(\lambda_T\sqrt\ell)$、指数は $-mx^2/(2\ell\beta\hbar^2)=-\pi x^2/(\ell\lambda_T^2)$ なので

$$g_1(x,0)=\sum_{\ell=1}^\infty(\pm1)^{\ell+1}\frac{z^\ell}{\lambda_T\sqrt\ell}\exp\Bigl(-\frac{\pi x^2}{\ell\lambda_T^2}\Bigr)\tag{6.5.21}$$

を得る。$\ell$ 番目の項は、粒子が虚時間 $\ell\beta\hbar$ だけ自由に伝わる振幅で、循環展開 (6.5.9) の長さ $\ell$ の輪に当たる。縮退していない気体（$z\ll1$）では $\ell=1$ の項だけが残って $g_1\approx(z/\lambda_T)\mathrm{e}^{-\pi x^2/\lambda_T^2}$、$n\approx z/\lambda_T$ で、(6.5.20) を $n^2$ で割った対相関は

$$\frac{\langle \hat\psi^\dagger(x)\hat\psi^\dagger(0)\hat\psi(0)\hat\psi(x) \rangle }{n^2}\approx1\pm\exp\Bigl(-\frac{2\pi x^2}{\lambda_T^2}\Bigr)\tag{6.5.22}$$

になる（図 6.5.3）。粒子の位置の相関が及ぶ距離は熱的 de Broglie 波長で決まる。第4部第2章の混合した Gauss 波束で、密度行列の非対角の幅が位置の広がりより狭かったことの多粒子版である。