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橋：行列力学から第二量子化へ

2026年10月17日9分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第6部 第1章 1粒子の â、↠から場へ
目次
  1. この章が架けた橋
  2. 式を並べる
  3. 学部の授業での書き方との対応
  4. 橋が無限個のモードで細くなるところ
  5. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

量子力学の様々な構成方法　第6部 第1章 §6.1.6　★★★ 計画の地図の「行列力学 → 第二量子化（場の基準振動の各モードが調和振動子）」の橋を両向きに式で並べる

この章が架けた橋

巻の地図（第1部第1章の同値性の地図）で、この章が受け持つのは「行列力学 → 第二量子化」の矢印である。置き場は第6部の冒頭と決めてあり、この章がそれに当たる。行列力学（第2部）の側から見ると、第二量子化の Fock 空間は「第2部第4章の振動子を、互いに交換する組として無限個並べたもの」である。逆向きに第二量子化の側から見ると、1つのモードに限るか粒子1個の部分に限るかで、行列力学の振動子か基準の1粒子の量子力学がそのまま戻ってくる。

図

図 6.1.3　この章が架けた橋。実線の矢印はこの章で示した向き、破線は命題 6.1.1 で示した逆向き、点線は第6部第2章へ送った向き。基準から行列力学への矢印は第2部第6章の結果。

式を並べる

1つの振動子と場のモードの対応を表にする。左の列は第2部の行列力学で、右の列はこの章の第二量子化の書き方である。

表 6.1.1　行列力学の1つの振動子と、場のモードの対応。
行列力学（1つの振動子）第二量子化（場）
基本の対象x^,p^\hat x,\hat p、[x^, p^]=iℏ\left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbarϕ^(x),π^(x)\hat\phi(x),\hat\pi(x) または ψ^(x),ψ^†(x)\hat\psi(x),\hat\psi^\dagger(x)
交換関係[a^, a^†]=1\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1[a^k, a^k′†]=δkk′\left[\hat a_k,\,\hat a_{k'}^\dagger\right]=\delta_{kk'}
[ψ^(x), ψ^†(y)]=δ(x−y)\left[\hat\psi(x),\,\hat\psi^\dagger(y)\right]=\delta(x-y)
ハミルトニアンℏω(a^†a^+12)\hbar\omega(\hat a^\dagger\hat a+\frac12)∑kℏωka^k†a^k\sum_k\hbar\omega_k\hat a_k^\dagger\hat a_k、∫ψ^†hψ^ dx\int\hat\psi^\dagger h\hat\psi\,\mathrm{d} x
状態∣n⟩| n \rangle∣{nk}⟩| \{n_k\} \rangle（Fock 空間）
Heisenberg 方程式a^˙=−iωa^\dot{\hat a}=-\mathrm{i}\omega\hat aa^˙k=−iωka^k\dot{\hat a}_k=-\mathrm{i}\omega_k\hat a_k、iℏ∂tψ^=hψ^\mathrm{i}\hbar\partial_t\hat\psi=h\hat\psi

表の最後の行は、Heisenberg 方程式が場では運動方程式そのものになることを示している。原子の列ではdp^jdt=[p^j, H^]/(iℏ)=K(u^j+1+u^j−1−2u^j)\frac{\mathrm{d} \hat p_j}{\mathrm{d} t}=\left[\hat p_j,\,\hat H\right]/(\mathrm{i}\hbar)=K(\hat u_{j+1}+\hat u_{j-1}-2\hat u_j) で、ハミルトニアンが2次なので Newton の運動方程式と同じ形の線形の式が演算子のまま成り立つ。Schrödinger 場では次の例題のとおり iℏ∂tψ^H=hψ^H\mathrm{i}\hbar\partial_t\hat\psi_{\mathrm H}=h\hat\psi_{\mathrm H} が出る。1粒子の波動関数が従っていた方程式を、場の演算子がそのまま満たす。Heisenberg 方程式と古典の正準方程式の対応は第2部第3章の主題で、この章はそれをモードの数だけ並べた形になっている。

例題 6.1.6　場の Heisenberg 方程式は Schrödinger 方程式 ★★★

オリジナルSchrödinger 場のハミルトニアン H^=∫dy ψ^†(y)hyψ^(y)\hat H=\int\mathrm{d} y\,\hat\psi^\dagger(y)h_y\hat\psi(y) と粒子数 N^=∫dy ψ^†(y)ψ^(y)\hat N=\int\mathrm{d} y\,\hat\psi^\dagger(y)\hat\psi(y) について、

  1. (1) [ψ^(x), H^]=hxψ^(x)\left[\hat\psi(x),\,\hat H\right]=h_x\hat\psi(x) を示し、ψ^H(x,t)\hat\psi_{\mathrm H}(x,t) が Schrödinger 方程式を満たすことを導け。
  2. (2) [N^, H^]=0\left[\hat N,\,\hat H\right]=0 を示し、その意味を述べよ。
解答

(1) 恒等式 [A, BC]=[A, B]C+B[A, C]\left[A,\,BC\right]=\left[A,\,B\right] C+B\left[A,\,C\right] と、(6.1.18) の [ψ^(x), ψ^†(y)]=δ(x−y)\left[\hat\psi(x),\,\hat\psi^\dagger(y)\right]=\delta(x-y)、[ψ^(x), hyψ^(y)]=hy[ψ^(x), ψ^(y)]=0\left[\hat\psi(x),\,h_y\hat\psi(y)\right]=h_y\left[\hat\psi(x),\,\hat\psi(y)\right]=0 を使うと

[ψ^(x), H^]=∫dy δ(x−y) hyψ^(y)=hxψ^(x)\left[\hat\psi(x),\,\hat H\right]=\int\mathrm{d} y\,\delta(x-y)\,h_y\hat\psi(y)=h_x\hat\psi(x)

である。Heisenberg 方程式 iℏ ∂tψ^H=[ψ^H, H^]\mathrm{i}\hbar\,\partial_t\hat\psi_{\mathrm H}=\left[\hat\psi_{\mathrm H},\,\hat H\right] に入れると（H^\hat H は時間によらないので Heisenberg 描像で書いても同じ形）、

iℏ ∂tψ^H(x,t)=(−ℏ22m∂x2+V(x))ψ^H(x,t)\mathrm{i}\hbar\,\partial_t\hat\psi_{\mathrm H}(x,t)=\Bigl(-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2+V(x)\Bigr)\hat\psi_{\mathrm H}(x,t)

となる。モードで書けば [a^j, H^]=εja^j\left[\hat a_j,\,\hat H\right]=\varepsilon _j\hat a_j で、a^j,H(t)=a^je−iεjt/ℏ\hat a_{j,\mathrm H}(t)=\hat a_j\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varepsilon _jt/\hbar} である。

(2) N^=∑ja^j†a^j\hat N=\sum_j\hat a_j^\dagger\hat a_j、H^=∑jεja^j†a^j\hat H=\sum_j\varepsilon _j\hat a_j^\dagger\hat a_j で、異なる jj の n^j\hat n_j は交換し、同じ jj どうしは自分自身と交換するので[N^, H^]=∑j,lεl[n^j, n^l]=0\left[\hat N,\,\hat H\right]=\sum_{j,l}\varepsilon _l\left[\hat n_j,\,\hat n_l\right]=0 である。粒子数は保存し、H^\hat H は粒子数の異なる部分を混ぜない。したがって Fock 空間は N^=0,1,2,…\hat N=0,1,2,\dots の部分に分かれ、それぞれの部分で独立に時間発展する。命題 6.1.1 で粒子1個の部分だけを取り出せたのはこのためである。相互作用を入れても、粒子を生成・消滅させる項（ψ^†ψ^†\hat\psi^\dagger\hat\psi^\dagger だけの項など）を含まない限り同じことが成り立つ。2つのモードを6次元ずつに打ち切った行列でも、(1) のモード版と (2) が成り立つことを verify_ch6-01.py で確かめた。

学部の授業での書き方との対応

学部の量子力学の授業では、第二量子化を「波動関数 ψ(x)\psi(x) を演算子 ψ^(x)\hat\psi(x) に置き換え、[ψ^(x), ψ^†(y)]=δ(x−y)\left[\hat\psi(x),\,\hat\psi^\dagger(y)\right]=\delta(x-y) を課す」と導入することが多い。これは 6.1.4 節の手続きの結果だけを書いたもので、その交換関係が Schrödinger 場の Poisson 括弧 {ψ(x),iℏψ∗(y)}=δ(x−y)\{\psi(x),\mathrm{i}\hbar\psi^*(y)\}=\delta(x-y) の量子化であることが省かれている。固体物理の授業でフォノンを導入するときは、式 (6.1.11) の形

u^j=∑kℏ2NMωk(a^keikja+a^k†e−ikja)\hat u_j=\sum_k\sqrt{\frac{\hbar}{2NM\omega_k}}\bigl(\hat a_k\mathrm{e}^{\mathrm{i} kja}+\hat a_k^\dagger\mathrm{e}^{-\mathrm{i} kja}\bigr)

を天下りに書くことが多い。この章では、それが基準の交換関係 [u^j, p^l]=iℏδjl\left[\hat u_j,\,\hat p_l\right]=\mathrm{i}\hbar\delta_{jl} をユニタリな Fourier 変換で付け替えただけのものであることを示した。どちらの導入も、行列力学の1つの振動子の代数（第2部第4章）を前提にしている。

橋が無限個のモードで細くなるところ

有限個の振動子なら、交換関係 [a^k, a^k′†]=δkk′\left[\hat a_k,\,\hat a_{k'}^\dagger\right]=\delta_{kk'} を満たす既約な表現は、ユニタリ変換を除いて1つしかない（Stone–von Neumann の定理。第2部第6章）。モードが無限個になると、この一意性が成り立たない。たとえば弦の質量項を変えたとき、新しい真空は元の Fock 空間のどのベクトルとも直交し、2つの Fock 空間はユニタリ変換で移り合わない（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第2章の Bogoliubov 変換の例）。この章で作った Fock 空間は、無限個のモードの代数の表現の1つを選んだものである。どの表現を選ぶかが物理の問題になる場面（超伝導・強磁性・相転移）は第8部第3章で扱う。

木下の勉強ステータス

木下はまだこの記事を勉強していません。

AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com

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