Fock 空間の同値：両向きの証明

量子力学の様々な構成方法　第6部 第2章 §6.2.2　★★★ 対称化した空間の直和の上に生成消滅演算子を定義すると交換関係が成り立ち、逆に交換関係と真空から対称化した波動関数が作り直せる

対称化した空間を並べる

粒子数の決まった空間 $\mathcal{H}_N^\pm$ を全部並べた直和

$$\mathcal F_\pm(\mathcal{H})=\bigoplus_{N=0}^\infty\mathcal{H}_N^\pm=\mathbb{C}\oplus\mathcal{H}\oplus\mathcal{H}_2^\pm\oplus\mathcal{H}_3^\pm\oplus\cdots\tag{6.2.6}$$

を考える。元は粒子数ごとの成分の列 $(\Psi_0,\Psi_1,\Psi_2,\dots)$ で、内積は成分ごとの内積の和である。$\mathcal{H}_0^\pm=\mathbb{C}$ の単位ベクトル $(1,0,0,\dots)$ を真空と呼び $| 0 \rangle$ と書く。粒子数の決まった状態を考える限り、直和にしたことで新しい物理は何も入っていない。違いは、粒子数を1つ変える演算子を1つの空間の中の演算子として扱えるようになったことである。

基準から生成消滅演算子を作る

1粒子の状態 $\varphi\in\mathcal{H}$ に対して、$\mathcal{H}_N^\pm$ から $\mathcal{H}_{N+1}^\pm$ への写像

$$\hat a^\dagger(\varphi)\Psi=\sqrt{N+1}\;\hat S_\pm(\varphi\otimes\Psi)\qquad(\Psi\in\mathcal{H}_N^\pm)\tag{6.2.7}$$

を考える。「粒子を1個 $\varphi$ に足して、全体を対称化（反対称化）する」操作である。$\Psi$ がもともと対称（反対称）なので、$(N+1)!$ 個の置換の平均は「足した粒子を何番目に置くか」の $N+1$ 通りの平均に減り、位置表示では

$$\bigl(\hat a^\dagger(\varphi)\Psi\bigr)(x_1,\dots,x_{N+1})=\frac1{\sqrt{N+1}}\sum_{k=1}^{N+1}(\pm1)^{k-1}\varphi(x_k)\,\Psi(x_1,\dots,\widehat{x_k},\dots,x_{N+1})\tag{6.2.8}$$

になる（$\widehat{x_k}$ はその変数を除くことを表す。符号 $(\pm1)^{k-1}$ は、$x_k$ を先頭へ運ぶのに $k-1$ 回の互換が要ることから出る）。逆向きの写像を

$$\bigl(\hat a(\varphi)\Phi\bigr)(x_1,\dots,x_N)=\sqrt{N+1}\int\mathrm{d} x\;\varphi^*(x)\,\Phi(x,x_1,\dots,x_N)\qquad(\Phi\in\mathcal{H}_{N+1}^\pm)\tag{6.2.9}$$

で定め、$\hat a(\varphi)| 0 \rangle =0$ とする。$\hat a(\varphi)$ は「1番目の変数を $\varphi$ に射影して取り去る」操作で、$\Phi$ が対称（反対称）なのでどの変数を取り去っても符号を除いて同じである。

$\hat a(\varphi)$ が $\hat a^\dagger(\varphi)$ のエルミート共役であることを確かめておく。$\Phi\in\mathcal{H}_{N+1}^\pm$、$\Psi\in\mathcal{H}_N^\pm$ について、$\hat S_\pm$ がエルミートで$\hat S_\pm\Phi=\Phi$ なので

$$\langle \Phi | \hat a^\dagger(\varphi)\Psi \rangle =\sqrt{N+1}\,\langle \Phi | \varphi\otimes\Psi \rangle =\sqrt{N+1}\int\mathrm{d} x\,\mathrm{d}^Nx'\;\Phi^*(x,x')\varphi(x)\Psi(x')=\langle \hat a(\varphi)\Phi | \Psi \rangle$$

である。$\hat a^\dagger(\varphi)$ は $\varphi$ について線形、$\hat a(\varphi)$ は反線形である。

証明

$\Psi\in\mathcal{H}_N^\pm$ とし、両辺を $\Psi$ に当てて位置表示で比べる。まず $\hat a(\varphi)\hat a^\dagger(\chi)\Psi$ は、(6.2.8) を変数 $(x,x_1,\dots,x_N)$ で書いて(6.2.9) の積分をとったものである。係数は $\sqrt{N+1}/\sqrt{N+1}=1$ で、和の $k=1$ の項（足した粒子が先頭の変数 $x$ にいる項）と $k\geq2$ の項に分けると

$$\bigl(\hat a(\varphi)\hat a^\dagger(\chi)\Psi\bigr)(x_1,\dots,x_N)=\langle \varphi | \chi \rangle \,\Psi(x_1,\dots,x_N) +\sum_{j=1}^N(\pm1)^{j}\chi(x_j)\int\mathrm{d} x\,\varphi^*(x)\,\Psi(x,x_1,\dots,\widehat{x_j},\dots,x_N)$$

になる（$k\geq2$ の項は $j=k-1$ と付け替えた）。一方 $\hat a^\dagger(\chi)\hat a(\varphi)\Psi$ は、(6.2.9) で $N-1$ 粒子の状態を作ってから (6.2.8) を当てるので、係数は $\sqrt N/\sqrt N=1$ で

$$\bigl(\hat a^\dagger(\chi)\hat a(\varphi)\Psi\bigr)(x_1,\dots,x_N)=\sum_{j=1}^N(\pm1)^{j-1}\chi(x_j)\int\mathrm{d} x\,\varphi^*(x)\,\Psi(x,x_1,\dots,\widehat{x_j},\dots,x_N)$$

である。2つの和は項ごとに符号 $(\pm1)^j=(\pm1)\cdot(\pm1)^{j-1}$ だけ違うので、第1式から第2式の $\pm1$ 倍を引くと $\langle \varphi | \chi \rangle \Psi$ だけが残る。これが第1の関係式である。

第2の関係式は、$\hat a^\dagger(\varphi)\hat a^\dagger(\chi)\Psi=\sqrt{(N+2)(N+1)}\,\hat S_\pm(\varphi\otimes\chi\otimes\Psi)$ から出る（(6.2.7) を2回当て、内側の $\hat S_\pm$ は外側の $\hat S_\pm$ に吸収される）。先頭の2つの因子を入れ替えるのは互換を1つ当てることなので、$\hat S_\pm\hat P_{12}=\pm\hat S_\pm$ から$\hat S_\pm(\chi\otimes\varphi\otimes\Psi)=\pm\hat S_\pm(\varphi\otimes\chi\otimes\Psi)$ である。$\hat a(\varphi)| 0 \rangle =0$ は定義である。

この定理によって、基準（対称化の要請を足した第1部の公理）の中に、第二量子化の基本の対象がすべて作れた。新しい公理は使っていない。$N$ 粒子の状態を生成演算子で書くと、正規直交基底 $\{\varphi_i\}$ について

$$| n_1,n_2,\dots \rangle =\prod_i\frac{(\hat a_i^\dagger)^{n_i}}{\sqrt{n_i!}}| 0 \rangle =\sqrt{\frac{N!}{\prod_in_i!}}\;\hat S_+\bigl(\underbrace{\varphi_1\otimes\cdots\otimes\varphi_1}_{n_1}\otimes\underbrace{\varphi_2\otimes\cdots}_{n_2}\otimes\cdots\bigr)\tag{6.2.11}$$

（ボース粒子、$N=\sum_in_i$）と、

$$\hat c_{i_1}^\dagger\cdots\hat c_{i_N}^\dagger| 0 \rangle =\sqrt{N!}\,\hat S_-(\varphi_{i_1}\otimes\cdots\otimes\varphi_{i_N}),\qquad \Psi(x_1,\dots,x_N)=\frac1{\sqrt{N!}}\det\bigl[\varphi_{i_k}(x_l)\bigr]_{k,l=1}^N\tag{6.2.12}$$

（フェルミ粒子）になる。後者は Slater 行列式そのものである。どちらも (6.2.7) を右から順に当てれば出る。$\sqrt{N!/\prod n_i!}$ は、$\hat S_+$ で平均したときに同じ項が $\prod_in_i!$ 回ずつ重なる分の規格化である。第1章で数の組 $\{n_k\}$ で状態を指定し「Bose 統計は対称化を課さなくても出る」と述べたのは、(6.2.11) の左辺から読んだ言い方で、右辺から読めば対称化した波動関数である。

代数から出発して基準へ戻る

逆向きを示す。今度は対称化した空間を知らないものとして、代数だけから出発する。

証明

鍵は、両側の内積が同じ式で計算できることである。$\mathcal K$ の側で、交換関係を使って $\hat b_j$ を右へ運ぶと、真空で消えるまでに $\hat b_{i_k}^\dagger$ を1つずつ追い越し、追い越すたびに $\pm1$ が付き、$i_k=j$ の所でだけ $\delta$ の項が残る。

$$\hat b_j\,\hat b_{i_1}^\dagger\cdots\hat b_{i_N}^\dagger\Omega=\sum_{k=1}^N(\pm1)^{k-1}\delta_{j,i_k}\,\hat b_{i_1}^\dagger\cdots\widehat{\hat b_{i_k}^\dagger}\cdots\hat b_{i_N}^\dagger\Omega\tag{6.2.14}$$

これを $N$ 回繰り返すと（$N$ についての帰納法）、

$$\bigl\langle\hat b_{j_1}^\dagger\cdots\hat b_{j_N}^\dagger\Omega,\;\hat b_{i_1}^\dagger\cdots\hat b_{i_N}^\dagger\Omega\bigr\rangle=\sum_\sigma(\pm1)^\sigma\prod_{k=1}^N\delta_{j_k,i_{\sigma(k)}}\tag{6.2.15}$$

を得る。粒子数が違うベクトルどうしは、(6.2.14) を繰り返すと最後に $\hat b\Omega=0$ が残るので直交する。一方、対称化した側では $\hat S_\pm$ が射影であることから

$$N!\,\bigl\langle\hat S_\pm(\varphi_{j_1}\otimes\cdots),\hat S_\pm(\varphi_{i_1}\otimes\cdots)\bigr\rangle=N!\,\bigl\langle\varphi_{j_1}\otimes\cdots,\hat S_\pm(\varphi_{i_1}\otimes\cdots)\bigr\rangle =\sum_\sigma(\pm1)^\sigma\prod_k\langle \varphi_{j_k} | \varphi_{i_{\sigma(k)}} \rangle$$

で、正規直交性から (6.2.15) の右辺と同じになる（置換の向きの付け方の違いは $(\pm1)^{\sigma^{-1}}=(\pm1)^\sigma$ で吸収される）。

張るベクトルの組どうしの内積がすべて等しいので、(6.2.13) を線形に延ばした写像は矛盾なく定義され（左辺で0になる組み合わせは右辺でもノルム0で0になる）、内積を保つ。左辺のベクトルは $\mathcal F_\pm(\mathcal{H})$ を張り、右辺のベクトルは仮定により $\mathcal K$ で稠密なので、$U$ はユニタリに拡張される。$U\hat a_i^\dagger=\hat b_i^\dagger U$ は、(6.2.13) の左辺で $\hat a_i^\dagger$ を当てると $i$ が先頭に1つ増えること（(6.2.7) で $\sqrt{N+1}\sqrt{N!}=\sqrt{(N+1)!}$）から出る。その共役をとれば $U\hat a_i=\hat b_iU$ である。

この定理が言っているのは、交換関係（反交換関係）と巡回的な真空さえあれば、そこで使っている $N$ 粒子の部分は必ず対称化した $N$ 粒子の波動関数の空間と同じもので、Fock 空間の計算を波動関数の言葉に訳し戻せるということである。定理 6.2.2 と合わせて、2つの構成は粒子数ごとにユニタリ同値になる。

仮定のうち「真空がある」が強い条件で、モードが無限個あるとき、真空を持たない（どの $\hat b_i$ でも消えるベクトルが無い）交換関係の表現が存在する。その場合は定理の前提が満たされず、対称化した波動関数の空間へは戻れない。これは 6.2.6 節で橋が細くなる所として取り上げる。