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橋：状態ベクトルと第二量子化

2026年10月17日12分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第6部 第2章 基準との同値：N 粒子の対称化と Fock 空間
目次
  1. この章が架けた橋
  2. 式を並べる
  3. 学部の授業での書き方との対応
  4. 橋が細くなるところ
  5. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

量子力学の様々な構成方法　第6部 第2章 §6.2.6　★★★ 計画の地図の「状態ベクトル ↔ 第二量子化（NN 粒子の対称化空間の直和＝Fock 空間）」の橋。この章が置き場で、両向きを証明した

この章が架けた橋

巻の地図（第1部第1章）で、この章が受け持つのは基準（状態ベクトル）と第二量子化（第6部）を結ぶ橋である。基準から第二量子化へは定理 6.2.2、第二量子化から基準へは定理 6.2.3 で、どちらも粒子数ごとのユニタリ同値として示した。演算子の対応は定理 6.2.4 で、時間発展の対応は次の命題で閉じる。

命題 6.2.6（時間発展の対応 ★★★）

H^=T^+V^\hat H=\hat T+\hat V（(6.2.21)・(6.2.22)）は粒子数 N^=∑ia^i†a^i\hat N=\sum_i\hat a_i^\dagger\hat a_i と交換する。基準の NN 粒子のハミルトニアンを H^(N)=∑kh(k)+∑k<lv(xk,xl)\hat H^{(N)}=\sum_kh^{(k)}+\sum_{k<l}v(x_k,x_l) と書くと、各 HN±\mathcal{H}_N^\pm の上で

e−iH^t/ℏ U=U e−iH^(N)t/ℏ\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}\,U=U\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H^{(N)}t/\hbar}

が成り立つ。とくに、Fock 空間の Schrödinger 方程式 iℏ∂t∣Ψ(t)⟩=H^∣Ψ(t)⟩\mathrm{i}\hbar\partial_t| \Psi(t) \rangle =\hat H| \Psi(t) \rangle の解から (6.2.18) で読み出した Ψ(x1,…,xN,t)\Psi(x_1,\dots,x_N,t) は、基準の NN 粒子の Schrödinger 方程式 iℏ∂tΨ=H^(N)Ψ\mathrm{i}\hbar\partial_t\Psi=\hat H^{(N)}\Psi を満たし、逆も成り立つ。

証明

T^\hat T と V^\hat V はどの項も生成演算子と消滅演算子を同じ数だけ含むので、(6.2.23) を繰り返し使えば N^\hat N と交換する（[N^, a^i†]=a^i†\left[\hat N,\,\hat a_i^\dagger\right]=\hat a_i^\dagger、[N^, a^i]=−a^i\left[\hat N,\,\hat a_i\right]=-\hat a_i）。したがって H^\hat H は各 HN±\mathcal{H}_N^\pm を自分自身に移す。定理 6.2.4 から H^U=UH^(N)\hat HU=U\hat H^{(N)} が HN±\mathcal{H}_N^\pm の上で成り立つので、指数関数をとっても（べき級数で、あるいは有限次元に切ってから極限で）同じ関係が成り立つ。読み出しの公式 (6.2.18) は U−1U^{-1} を位置表示で書いたものなので、2つの Schrödinger 方程式は UU で移り合う。

verify_ch6-02.py では、軌道3つ・粒子2個と3個の場合に、相互作用を入れた e−iH^t\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht} を Fock 空間の行列と対称化したテンソル積の行列の両方で計算し、UU で一致することを確かめた。

図

図 6.2.3　この章が架けた橋。基準に対称化の要請を足して HN±\mathcal{H}_N^\pm を作り、その直和に生成消滅演算子を定義すると第二量子化になる（下段の左から右への矢印）。逆に代数と真空から出発すると、読み出しの公式で対称化した波動関数に戻る。点線は第1章で架けた行列力学からの矢印。

式を並べる

表 6.2.1　基準の NN 粒子の量子力学と第二量子化の辞書。上の符号がボース粒子、下の符号がフェルミ粒子。
基準（第1部＋対称化の要請）第二量子化（第6部）
状態Ψ(x1,…,xN)\Psi(x_1,\dots,x_N)、P^σΨ=(±1)σΨ\hat P_\sigma\Psi=(\pm1)^\sigma\Psi∣Ψ⟩∈F±| \Psi \rangle \in\mathcal F_\pm、N^∣Ψ⟩=N∣Ψ⟩\hat N| \Psi \rangle =N| \Psi \rangle
基底対称化した積・Slater 行列式∏i(a^i†)ni/ni!∣0⟩\prod_i(\hat a_i^\dagger)^{n_i}/\sqrt{n_i!}| 0 \rangle、c^i1†⋯c^iN†∣0⟩\hat c_{i_1}^\dagger\cdots\hat c_{i_N}^\dagger| 0 \rangle
入れ替えの符号P^12Ψ=±Ψ\hat P_{12}\Psi=\pm\Psia^i†a^j†=±a^j†a^i†\hat a_i^\dagger\hat a_j^\dagger=\pm\hat a_j^\dagger\hat a_i^\dagger
内積∫Ψ∗Φ dNx\int\Psi^*\Phi\,\mathrm{d}^Nx⟨Ψ∣Φ⟩\langle \Psi | \Phi \rangle（(6.2.15) で計算）
1体の演算子∑kh(k)\sum_kh^{(k)}∑ijhija^i†a^j\sum_{ij}h_{ij}\hat a_i^\dagger\hat a_j
2体の演算子∑k<lv(xk,xl)\sum_{k<l}v(x_k,x_l)12∑vijkla^i†a^j†a^la^k\frac12\sum v_{ijkl}\hat a_i^\dagger\hat a_j^\dagger\hat a_l\hat a_k
密度N∫∣Ψ(x,x2,… )∣2N\int\lvert \Psi(x,x_2,\dots)\rvert ^2⟨ψ^†(x)ψ^(x)⟩\langle \hat\psi^\dagger(x)\hat\psi(x) \rangle
時間発展iℏ∂tΨ=H^(N)Ψ\mathrm{i}\hbar\partial_t\Psi=\hat H^{(N)}\Psiiℏ∂t∣Ψ⟩=H^∣Ψ⟩\mathrm{i}\hbar\partial_t| \Psi \rangle =\hat H| \Psi \rangle（[H^, N^]=0\left[\hat H,\,\hat N\right]=0）

表の右の列には「粒子の番号」がどこにも現れない。基準では番号を付けてから対称化で番号の情報を消すのに対し、第二量子化では初めから番号を付けない。同じ内容を、余分な情報を付けて消すか、付けずに済ませるかの違いである。粒子数が大きいときに Fock 空間が計算に向くのはこのためで、NN 変数の対称化は N!N! 項の和になるが、Fock 空間の計算は交換関係を使う回数で済む。

学部の授業での書き方との対応

学部の量子力学の授業では、多電子の波動関数を Slater 行列式 (6.2.12) で書き、そのエネルギーの期待値を

E[Φ]=∑i∈占hii+12∑i,j∈占(vijij−vijji)(6.2.28)E[\Phi]=\sum_{i\in\text{占}}h_{ii}+\frac12\sum_{i,j\in\text{占}}\bigl(v_{ijij}-v_{ijji}\bigr)\tag{6.2.28}

（和は占有された軌道。第2項の2つの部分が直接項と交換項）と、行列式を展開して導くことが多い（Slater–Condon の規則）。

Fock 空間では、占有された軌道の組の上で ⟨Φ∣c^i†c^j†c^lc^k∣Φ⟩=δikδjl−δilδjk\langle \Phi | \hat c_i^\dagger\hat c_j^\dagger\hat c_l\hat c_k | \Phi \rangle =\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk}（c^lc^k\hat c_l\hat c_k で2つを消してから同じ2つを戻す。順が逆なら反交換関係で符号が変わる）を (6.2.22) に入れるだけで、(6.2.28) が2行で出る。行列式の展開の符号の管理が、反交換関係に置き換わっている。前の節の例題（ϕ0,ϕ1\phi_0,\phi_1 に1個ずつのフェルミ粒子）は J−KJ-K の形で、この式の特別な場合である。

この E[Φ]E[\Phi] を軌道について最小にするのが Hartree–Fock 近似で、その変分構造は 近似の数理 第5章が扱う。

例題 6.2.6　Slater 行列式1つのエネルギーを Fock 空間で出す ★★

オリジナル規格直交な実の軌道 ϕ0,ϕ1\phi_0,\phi_1 に1個ずつ入ったフェルミ粒子の状態 ∣Φ⟩=c^0†c^1†∣0⟩| \Phi \rangle =\hat c_0^\dagger\hat c_1^\dagger| 0 \rangle と、対称な2体の関数 v(x,y)v(x,y) を考える。

  1. (1) ⟨Φ∣V^∣Φ⟩=J−K\langle \Phi | \hat V | \Phi \rangle =J-K（J=v0101J=v_{0101}、K=v0110K=v_{0110}）を Fock 空間で示せ。
  2. (2) 同じ値を Slater 行列式の波動関数で ∬∣Φ(x,y)∣2v(x,y) dx dy\iint\lvert \Phi(x,y)\rvert ^2v(x,y)\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y として計算せよ。
  3. (3) v=g δ(x−y)v=g\,\delta(x-y) のとき、JJ と KK を比べよ。
解答

(1) (6.2.22) の和のうち期待値が残るのは {i,j}={k,l}={0,1}\{i,j\}=\{k,l\}=\{0,1\} で、⟨Φ∣c^i†c^j†c^lc^k∣Φ⟩=δikδjl−δilδjk\langle \Phi | \hat c_i^\dagger\hat c_j^\dagger\hat c_l\hat c_k | \Phi \rangle =\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk} から(0,1,0,1)(0,1,0,1) と (1,0,1,0)(1,0,1,0) では +1+1、(0,1,1,0)(0,1,1,0) と (1,0,0,1)(1,0,0,1) では −1-1 になる。v1010=v0101v_{1010}=v_{0101}、v1001=v0110v_{1001}=v_{0110}（vv が対称なので積分変数を入れ替えられる）を使って12(2J−2K)=J−K\frac12(2J-2K)=J-K である。

(2) Φ(x,y)=12[ϕ0(x)ϕ1(y)−ϕ1(x)ϕ0(y)]\Phi(x,y)=\frac1{\sqrt2}[\phi_0(x)\phi_1(y)-\phi_1(x)\phi_0(y)] を2乗して展開すると

∣Φ∣2=12[ϕ0(x)2ϕ1(y)2+ϕ1(x)2ϕ0(y)2]−ϕ0(x)ϕ1(x)ϕ0(y)ϕ1(y)\lvert \Phi\rvert ^2=\tfrac12\bigl[\phi_0(x)^2\phi_1(y)^2+\phi_1(x)^2\phi_0(y)^2\bigr]-\phi_0(x)\phi_1(x)\phi_0(y)\phi_1(y)

で、vv を掛けて積分すると第1項は 12(J+J)=J\frac12(J+J)=J、第2項は −K-K になる。(1) と一致する。

(3) v=gδ(x−y)v=g\delta(x-y) なら J=g∫ϕ02ϕ12 dxJ=g\int\phi_0^2\phi_1^2\,\mathrm{d} x、K=g∫ϕ0ϕ1ϕ1ϕ0 dxK=g\int\phi_0\phi_1\phi_1\phi_0\,\mathrm{d} x で、被積分関数が同じなので J=KJ=K、E(1)=0E^{(1)}=0 である。接触相互作用では交換項が直接項をちょうど打ち消し、例題 6.2.4 のフェルミ粒子の 0 と一致する。幅の有限な相互作用では J>KJ>K が普通で、たとえば ℓ=1\ell=1 の振動子の軌道と、高さ 11・幅（標準偏差）0.50.5 の Gauss 型の v(x,y)=e−(x−y)2/(2⋅0.52)v(x,y)=\mathrm{e}^{-(x-y)^2/(2\cdot0.5^2)} では J−K=0.0894J-K=0.0894（verify_ch6-02.py）と正になる。

近似の裏付け

型 A（射影）　｜　小さいもの Slater 行列式1つの集合（NN 個の軌道で張る行列式の多様体）に試行関数を限る（Hartree–Fock 近似）　｜　証明 条件付き（E[Φ]E[\Phi] が真の基底エネルギーの上界であることは変分原理で証明済み。最小にする行列式が存在することは Coulomb 相互作用の中性原子・正イオンで Lieb–Simon が証明しており、その前提と範囲は第V巻第5章に従う）　｜　行き先 近似の数理 第5章

橋が細くなるところ

この章の同値は「粒子数ごとに」成り立つ。Fock 空間には粒子数の異なる状態の重ね合わせ（たとえばコヒーレント状態 eαa^†∣0⟩\mathrm{e}^{\alpha\hat a^\dagger}| 0 \rangle の類）も入っているが、そのような状態は1つの HN±\mathcal{H}_N^\pm に収まらず、基準の NN 粒子の波動関数1つでは書けない。粒子数を保つハミルトニアンの下では各 NN の成分が別々に発展するので、予言は「NN 粒子の波動関数の列」として書き直せる。

しかし、粒子数の重ね合わせを扱う計算（コヒーレント状態の経路積分・超伝導の BCS 状態・レーザー光）では、Fock 空間の言葉のほうが本質的に便利になる。前者は 第6部第6章、BCS 状態の限界は 第6部第7章で扱う。

もう1つは、定理 6.2.3 の前提の「巡回的な真空がある」である。モードが無限個あると、交換関係（反交換関係）を満たしても、どの消滅演算子でも消えるベクトルを持たない表現がある。

そのような表現は Fock 空間と同値でなく、したがって対称化した NN 粒子の波動関数の言葉にも戻らない。熱力学極限の熱平衡状態や、自発的に対称性が破れた基底状態がその例で、代数的量子論の言葉で 第8部第3章が扱う。有限個の粒子を有限の箱に入れている限り、この章の同値は完全に成り立つ。

木下の勉強ステータス

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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