この章のまとめ

(1) $d=4$、$N=3$ なので、(6.2.5) から $\dim\mathcal{H}_3^+=\binom63=20$、$\dim\mathcal{H}_3^-=\binom43=4$ である（例題 6.2.1 の (2) と同じ数）。フェルミ粒子の4つは「4つの軌道のどれを空けるか」で決まる。

(2) ボース粒子は3個とも $\phi_0$ に入り、$| 3,0,0,\dots \rangle =(\hat a_0^\dagger)^3| 0 \rangle /\sqrt{3!}$ で、(6.2.11) から波動関数は $\phi_0(x_1)\phi_0(x_2)\phi_0(x_3)$、エネルギーは $3\cdot\frac12\hbar\omega=\frac32\hbar\omega$ である。フェルミ粒子は下から3つの軌道を埋めた $\hat c_0^\dagger\hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger| 0 \rangle$ で、波動関数は (6.2.12) の Slater 行列式

$$\Psi(x_1,x_2,x_3)=\frac1{\sqrt6}\det\begin{pmatrix}\phi_0(x_1)&\phi_0(x_2)&\phi_0(x_3)\\\phi_1(x_1)&\phi_1(x_2)&\phi_1(x_3)\\\phi_2(x_1)&\phi_2(x_2)&\phi_2(x_3)\end{pmatrix}$$

で、エネルギーは $(\frac12+\frac32+\frac52)\hbar\omega=\frac92\hbar\omega=N^2\hbar\omega/2$ である。

(3) 3文字の置換は、恒等（長さ1の巡回3つ、1個）・互換（長さ2と1、3個、奇）・3文字の巡回（長さ3、2個、偶）に分かれる。補題 6.2.5 から

$$Z_3^\pm=\frac16\Bigl[Z_1(\beta)^3\pm3Z_1(2\beta)Z_1(\beta)+2Z_1(3\beta)\Bigr]$$

である。$Z_1(n\beta)=q^{n/2}/(1-q^n)$ を入れて整理すると

$$Z_3^+=\frac{q^{3/2}}{(1-q)(1-q^2)(1-q^3)},\qquad Z_3^-=\frac{q^{9/2}}{(1-q)(1-q^2)(1-q^3)}$$

になる。最低次の項 $q^{3/2}$ と $q^{9/2}$ は、(2) の基底エネルギー $\frac32\hbar\omega$ と $\frac92\hbar\omega$ に当たる。Fock 空間の側で $k_1\leq k_2\leq k_3$（ボース）、$k_1<k_2<k_3$（フェルミ）の組を直接数えた和とも、$\beta\hbar\omega=0.5$ と $1.3$ で数値が一致することをverify_ch6-02.py で確かめた。ここでも $Z_3^-=q^3Z_3^+$ で、2粒子のときと同じ持ち上げ（$k_2\to k_2+1$、$k_3\to k_3+2$）の対応がある。

(4) ボース粒子の基底状態では、(6.2.22) のうち $i=j=k=l=0$ の項だけが残り、$\langle (\hat a_0^\dagger)^2\hat a_0^2 \rangle =n(n-1)=6$ なので

$$\langle \hat V \rangle =\tfrac12\,v_{0000}\cdot6=3g\int\phi_0^4\,\mathrm{d} x=\frac{3g}{\ell\sqrt{2\pi}}$$

である。基準では、3個の粒子の対は $\binom32=3$ 組あり、各対の値は例題 6.2.4 (1) の $g\int\phi_0^4=g/(\ell\sqrt{2\pi})$ なので、同じ $3g/(\ell\sqrt{2\pi})$ になる。Fock 空間の $n(n-1)/2$ が「対の数」を数えている。フェルミ粒子の基底状態では、反対称な波動関数がどの2粒子についても同じ点で0になるので（6.2.3 節の $\rho_2(x,x)=0$）、接触相互作用の1次の効果は $0$ である。Fock 空間では、例題 6.2.6 と同じく対ごとに $J-K=0$ になる。

(5) (6.2.19) と (6.2.16) から、Slater 行列式の状態の密度は占有された軌道の $\lvert \phi_k\rvert ^2$ の和で、$\rho(x)=\phi_0^2+\phi_1^2+\phi_2^2$ である。$\phi_1(0)=0$、$\phi_0(0)^2=1/(\sqrt\pi\,\ell)$、$\phi_2(x)=(2x^2/\ell^2-1)\phi_0(x)/\sqrt2$ から $\phi_2(0)^2=1/(2\sqrt\pi\,\ell)$ なので

$$\rho(0)=\frac{3}{2\sqrt\pi\,\ell}$$

である。3個のボース粒子がすべて $\phi_0$ にいれば $\rho(0)=3\phi_0(0)^2=3/(\sqrt\pi\,\ell)$ で、フェルミ粒子の中心の密度はその半分になる。どちらも $\int\rho\,\mathrm{d} x=3$ を満たすので、フェルミ粒子は排他律によって外側の軌道に押し出され、密度が広く薄く分布する。