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1体と2体の演算子の書き換え

2026年10月17日11分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第6部 第2章 基準との同値：N 粒子の対称化と Fock 空間
目次
  1. 1体の演算子
  2. 接触相互作用の1次の効果
  3. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

量子力学の様々な構成方法　第6部 第2章 §6.2.4　★★★ 基準の ∑kh(k)\sum_kh^{(k)} と ∑k<lv(xk,xl)\sum_{k<l}v(x_k,x_l) は、Fock 空間で ∑hija^i†a^j\sum h_{ij}\hat a_i^\dagger\hat a_j と 12∑vijkla^i†a^j†a^la^k\frac12\sum v_{ijkl}\hat a_i^\dagger\hat a_j^\dagger\hat a_l\hat a_k になる

1体の演算子

基準の NN 粒子のハミルトニアンの各項を、Fock 空間の演算子に書き換える規則を証明する。これがあれば、多体の問題を最初から Fock 空間で書いてよいことになる。

定理 6.2.4（1体と2体の演算子 ★★★）

1粒子の演算子 hh の行列要素を hij=⟨φi∣h∣φj⟩h_{ij}=\langle \varphi_i | h | \varphi_j \rangle、対称な2体の関数 v(x,y)=v(y,x)v(x,y)=v(y,x) の行列要素をvijkl=∬dx dy φi∗(x)φj∗(y)v(x,y)φk(x)φl(y)v_{ijkl}=\iint\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,\varphi_i^*(x)\varphi_j^*(y)v(x,y)\varphi_k(x)\varphi_l(y) とする。定理 6.2.3 のユニタリ UU で移すと、各 HN±\mathcal{H}_N^\pm の上で

∑k=1Nh(k)  ⟷  T^=∑i,jhij a^i†a^j=∫dx ψ^†(x) h ψ^(x),∑k<lv(xk,xl)  ⟷  V^=12∑i,j,k,lvijkl a^i†a^j†a^la^k=12∬dx dy v(x,y) ψ^†(x)ψ^†(y)ψ^(y)ψ^(x)\begin{align*}\sum_{k=1}^Nh^{(k)}&\;\longleftrightarrow\;\hat T=\sum_{i,j}h_{ij}\,\hat a_i^\dagger\hat a_j=\int\mathrm{d} x\,\hat\psi^\dagger(x)\,h\,\hat\psi(x),\tag{6.2.21}\\\sum_{k<l}v(x_k,x_l)&\;\longleftrightarrow\;\hat V=\frac12\sum_{i,j,k,l}v_{ijkl}\,\hat a_i^\dagger\hat a_j^\dagger\hat a_l\hat a_k=\frac12\iint\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,v(x,y)\,\hat\psi^\dagger(x)\hat\psi^\dagger(y)\hat\psi(y)\hat\psi(x)\tag{6.2.22}\end{align*}

が成り立つ（左辺と右辺が UU で移り合う）。ボース粒子でもフェルミ粒子でも同じ形である。

証明

1体の部分。ボースでもフェルミでも

[a^i†a^j, a^m†]=δjm a^i†(6.2.23)\left[\hat a_i^\dagger\hat a_j,\,\hat a_m^\dagger\right]=\delta_{jm}\,\hat a_i^\dagger\tag{6.2.23}

が成り立つ。実際 a^i†a^ja^m†=a^i†(δjm±a^m†a^j)=δjma^i†±a^i†a^m†a^j\hat a_i^\dagger\hat a_j\hat a_m^\dagger=\hat a_i^\dagger(\delta_{jm}\pm\hat a_m^\dagger\hat a_j)=\delta_{jm}\hat a_i^\dagger\pm\hat a_i^\dagger\hat a_m^\dagger\hat a_j で、最後の項は a^i†a^m†=±a^m†a^i†\hat a_i^\dagger\hat a_m^\dagger=\pm\hat a_m^\dagger\hat a_i^\dagger を使うと符号が2回掛かって +a^m†a^i†a^j+\hat a_m^\dagger\hat a_i^\dagger\hat a_j になる。フェルミ粒子でも交換子（反交換子でなく）で閉じることが要点である。T^∣0⟩=0\hat T| 0 \rangle =0 と (6.2.23) から、T^\hat T を a^m1†⋯a^mN†∣0⟩\hat a_{m_1}^\dagger\cdots\hat a_{m_N}^\dagger| 0 \rangle に当てると、T^\hat T が生成演算子を1つずつ追い越し、そのたびにその1つを ∑ihima^i†\sum_ih_{im}\hat a_i^\dagger に置き換えた項が出る。

T^ a^m1†⋯a^mN†∣0⟩=∑r=1Na^m1†⋯(∑ihimra^i†)⋯a^mN†∣0⟩\hat T\,\hat a_{m_1}^\dagger\cdots\hat a_{m_N}^\dagger| 0 \rangle =\sum_{r=1}^N\hat a_{m_1}^\dagger\cdots\Bigl(\sum_ih_{im_r}\hat a_i^\dagger\Bigr)\cdots\hat a_{m_N}^\dagger| 0 \rangle

一方、基準の側では ∑kh(k)\sum_kh^{(k)} は置換と交換するので S^±\hat S_\pm と交換し、∑kh(k)S^±(φm1⊗⋯ )=S^±∑r(φm1⊗⋯⊗hφmr⊗⋯ )\sum_kh^{(k)}\hat S_\pm(\varphi_{m_1}\otimes\cdots)=\hat S_\pm\sum_r(\varphi_{m_1}\otimes\cdots\otimes h\varphi_{m_r}\otimes\cdots)、hφmr=∑ihimrφih\varphi_{m_r}=\sum_ih_{im_r}\varphi_i である。(6.2.13) で2つの式は項ごとに移り合う。∫ψ^†hψ^\int\hat\psi^\dagger h\hat\psi の形は (6.2.16) を入れて hijh_{ij} を作れば得られる。

2体の部分。まず演算子の恒等式

ψ^†(x)ψ^†(y)ψ^(y)ψ^(x)=n^(x)n^(y)−δ(x−y) n^(x),n^(x)=ψ^†(x)ψ^(x)(6.2.24)\hat\psi^\dagger(x)\hat\psi^\dagger(y)\hat\psi(y)\hat\psi(x)=\hat n(x)\hat n(y)-\delta(x-y)\,\hat n(x),\qquad\hat n(x)=\hat\psi^\dagger(x)\hat\psi(x)\tag{6.2.24}

を示す。ボース粒子では ψ^(y)ψ^(x)=ψ^(x)ψ^(y)\hat\psi(y)\hat\psi(x)=\hat\psi(x)\hat\psi(y) と ψ^†(y)ψ^(x)=ψ^(x)ψ^†(y)−δ(x−y)\hat\psi^\dagger(y)\hat\psi(x)=\hat\psi(x)\hat\psi^\dagger(y)-\delta(x-y) からn^(y)ψ^(x)=ψ^(x)n^(y)−δ(x−y)ψ^(y)\hat n(y)\hat\psi(x)=\hat\psi(x)\hat n(y)-\delta(x-y)\hat\psi(y) である。

フェルミ粒子では2つの関係式の符号がどちらも逆になるので、積の符号は同じで同じ式になる。左から ψ^†(x)\hat\psi^\dagger(x) を掛ければ (6.2.24) である。次に、1体の部分を h=∣x⟩⟨x∣h=| x \rangle \langle x |（位置 xx への射影）に当てると、n^(x)\hat n(x) は基準の ∑kδ(x−xk)\sum_k\delta(x-x_k) に移る。したがって (6.2.24) は∑k,lδ(x−xk)δ(y−xl)−δ(x−y)∑kδ(x−xk)\sum_{k,l}\delta(x-x_k)\delta(y-x_l)-\delta(x-y)\sum_k\delta(x-x_k)、つまり k≠lk\neq l の組だけの和 ∑k≠lδ(x−xk)δ(y−xl)\sum_{k\neq l}\delta(x-x_k)\delta(y-x_l) に移る。12v(x,y)\frac12v(x,y) を掛けて積分すると 12∑k≠lv(xk,xl)=∑k<lv(xk,xl)\frac12\sum_{k\neq l}v(x_k,x_l)=\sum_{k<l}v(x_k,x_l) になる。モードの形は (6.2.16) を入れて得る。

2体の演算子の消滅演算子の順 a^la^k\hat a_l\hat a_k（添字が vijklv_{ijkl} と逆順）は、フェルミ粒子で符号を正しくするためのものである。(6.2.24) の右辺の −δ(x−y)n^(x)-\delta(x-y)\hat n(x) は、粒子が自分自身と相互作用する項を除く役をしている。n^(x)n^(y)\hat n(x)\hat n(y) をそのまま使うと、NN 粒子に NN 個の自己相互作用 v(xk,xk)v(x_k,x_k) が混ざる。verify_ch6-02.py では、軌道3つの格子で N=2,3N=2,3 のボースとフェルミについて、(6.2.21)・(6.2.22) の両辺を行列として作り、UU で移り合うことを確かめた。

接触相互作用の1次の効果

例題 6.2.4　調和ポテンシャルの中の2粒子と接触相互作用 ★★★

オリジナル1次元の調和ポテンシャル V=mω2x2/2V=m\omega^2x^2/2 の中に同種粒子が2個あり、接触相互作用 v(x,y)=g δ(x−y)v(x,y)=g\,\delta(x-y) をする。ℓ=ℏ/(mω)\ell=\sqrt{\hbar/(m\omega)} とし、振動子の固有関数を ϕ0(x)=π−1/4ℓ−1/2e−x2/(2ℓ2)\phi_0(x)=\pi^{-1/4}\ell^{-1/2}\mathrm{e}^{-x^2/(2\ell^2)}、ϕ1(x)=2 (x/ℓ) ϕ0(x)\phi_1(x)=\sqrt2\,(x/\ell)\,\phi_0(x) とする。相互作用のエネルギーの1次の値 ⟨V^⟩\langle \hat V \rangle を、次の状態について Fock 空間の式 (6.2.22) で求めよ。

  1. (1) ボース粒子が2個とも ϕ0\phi_0 にいる状態 (a^0†)2∣0⟩/2(\hat a_0^\dagger)^2| 0 \rangle /\sqrt2。
  2. (2) ϕ0\phi_0 と ϕ1\phi_1 に1個ずつの状態：ボース粒子 a^0†a^1†∣0⟩\hat a_0^\dagger\hat a_1^\dagger| 0 \rangle とフェルミ粒子 c^0†c^1†∣0⟩\hat c_0^\dagger\hat c_1^\dagger| 0 \rangle。区別できる粒子 ϕ0⊗ϕ1\phi_0\otimes\phi_1 とも比べよ。
  3. (3) (2) のボース粒子の値を、基準の波動関数で g∫∣Ψ(x,x)∣2dxg\int\lvert \Psi(x,x)\rvert ^2\mathrm{d} x として計算し直せ。
解答

必要な積分は2つである。

∫ϕ04 dx=1πℓ2∫e−2x2/ℓ2dx=1ℓ2π,∫ϕ02ϕ12 dx=2πℓ4∫x2e−2x2/ℓ2dx=12ℓ2π.\int\phi_0^4\,\mathrm{d} x=\frac1{\pi\ell^2}\int\mathrm{e}^{-2x^2/\ell^2}\mathrm{d} x=\frac1{\ell\sqrt{2\pi}},\qquad \int\phi_0^2\phi_1^2\,\mathrm{d} x=\frac{2}{\pi\ell^4}\int x^2\mathrm{e}^{-2x^2/\ell^2}\mathrm{d} x=\frac1{2\ell\sqrt{2\pi}}.

接触相互作用の行列要素は vijkl=g∫ϕiϕjϕkϕl dxv_{ijkl}=g\int\phi_i\phi_j\phi_k\phi_l\,\mathrm{d} x で、添字の並べ替えで変わらない。

(1) V^=12∑vijkla^i†a^j†a^la^k\hat V=\frac12\sum v_{ijkl}\hat a_i^\dagger\hat a_j^\dagger\hat a_l\hat a_k のうち、ϕ0\phi_0 だけの状態で期待値が残るのは i=j=k=l=0i=j=k=l=0 の項で、⟨a^0†a^0†a^0a^0⟩=n(n−1)=2\langle \hat a_0^\dagger\hat a_0^\dagger\hat a_0\hat a_0 \rangle =n(n-1)=2（n=2n=2）なので

⟨V^⟩=12 v0000⋅2=g∫ϕ04 dx=gℓ2π\langle \hat V \rangle =\tfrac12\,v_{0000}\cdot2=g\int\phi_0^4\,\mathrm{d} x=\frac{g}{\ell\sqrt{2\pi}}

である。

(2) 期待値が残るのは {i,j}={k,l}={0,1}\{i,j\}=\{k,l\}=\{0,1\} の4項である。(i,j,k,l)=(0,1,0,1)(i,j,k,l)=(0,1,0,1) と (1,0,1,0)(1,0,1,0) では ⟨a^0†a^1†a^1a^0⟩=1\langle \hat a_0^\dagger\hat a_1^\dagger\hat a_1\hat a_0 \rangle =1 になり（直接項）、(0,1,1,0)(0,1,1,0) と (1,0,0,1)(1,0,0,1) では a^0a^1=±a^1a^0\hat a_0\hat a_1=\pm\hat a_1\hat a_0 を使って期待値が ±1\pm1 になる（交換項）。よって

⟨V^⟩=12(2v0101±2v0110)=J±K,J=v0101, K=v0110\langle \hat V \rangle =\tfrac12\bigl(2v_{0101}\pm2v_{0110}\bigr)=J\pm K,\qquad J=v_{0101},\ K=v_{0110}

である。接触相互作用では J=K=g∫ϕ02ϕ12=g/(2ℓ2π)J=K=g\int\phi_0^2\phi_1^2=g/(2\ell\sqrt{2\pi}) なので、ボース粒子は g/(ℓ2π)g/(\ell\sqrt{2\pi})、フェルミ粒子は 00 になる。区別できる粒子 ϕ0⊗ϕ1\phi_0\otimes\phi_1 では交換項が無く J=g/(2ℓ2π)J=g/(2\ell\sqrt{2\pi}) で、ボース粒子のちょうど半分である。フェルミ粒子が接触相互作用を全く感じないのは、前の例題の ρ2(x,x)=0\rho_2(x,x)=0 と同じ理由で、反対称な波動関数は2粒子が同じ点に来る所で0だからである。

(3) Ψ(x,y)=12[ϕ0(x)ϕ1(y)+ϕ1(x)ϕ0(y)]\Psi(x,y)=\frac1{\sqrt2}[\phi_0(x)\phi_1(y)+\phi_1(x)\phi_0(y)] で、Ψ(x,x)=2 ϕ0(x)ϕ1(x)\Psi(x,x)=\sqrt2\,\phi_0(x)\phi_1(x) なのでg∫∣Ψ(x,x)∣2dx=2g∫ϕ02ϕ12 dx=g/(ℓ2π)g\int\lvert \Psi(x,x)\rvert ^2\mathrm{d} x=2g\int\phi_0^2\phi_1^2\,\mathrm{d} x=g/(\ell\sqrt{2\pi}) で、(2) と一致する。基準では「波動関数が対角線 x=yx=y でどれだけ大きいか」として、Fock 空間では「直接項と交換項の和」として、同じ数が出た。ℓ=1\ell=1、g=1g=1 の単位では 1/2π=0.3991/\sqrt{2\pi}=0.399 である。

近似の裏付け

型 B（極限）　｜　小さいもの g→0g\to0（相互作用の強さ。g/(ℓℏω)g/(\ell\hbar\omega) が小さいときの1次の摂動）　｜　証明 証明済み（1次元のデルタ関数の相互作用は運動エネルギーに対して二次形式の意味で相対限界0の摂動で、加藤の解析的摂動論が当たる。孤立した非縮退の固有値は小さい gg で gg の解析関数になり、1次の係数が上の ⟨V^⟩\langle \hat V \rangle。(2) のように縮退した準位では縮退の中で対角化してから同じことが言える）　｜　行き先 近似の数理 第1章・近似の数理 第3章

木下の勉強ステータス

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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