共通例題①：調和ポテンシャルの中の $N$ 粒子の熱平衡

量子力学の様々な構成方法　第6部 第2章 §6.2.5　★★★ 分配関数を基準では $\operatorname{Tr}(\hat S_\pm\mathrm{e}^{-\beta\hat H})$ として置換の和で、Fock 空間では占有数の和で計算し、同じ答えを出す

基準の言葉：置換の和

共通例題①の1粒子の分配関数は $Z_1(\beta)=1/(2\sinh(\beta\hbar\omega/2))$ である（第4部第4章。第1章でも場のモード1つとして使った）。相互作用しない同種粒子 $N$ 個の分配関数を、基準の言葉で計算する。$N$ 粒子の状態空間は $\mathcal{H}_N^\pm=\hat S_\pm\mathcal{H}^{\otimes N}$ なので、トレースは射影 $\hat S_\pm$ を挟んで

$$Z_N^\pm(\beta)=\operatorname{Tr}_{\mathcal{H}^{\otimes N}}\bigl(\hat S_\pm\,\mathrm{e}^{-\beta\hat H}\bigr)=\frac1{N!}\sum_\sigma(\pm1)^\sigma\,\operatorname{Tr}\bigl(\hat P_\sigma\,\mathrm{e}^{-\beta h}\otimes\cdots\otimes\mathrm{e}^{-\beta h}\bigr)\tag{6.2.25}$$

と書ける。$\hat H=\sum_kh^{(k)}$ なので $\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ は $\mathrm{e}^{-\beta h}$ の $N$ 個のテンソル積で、置換と交換する。

証明

基底で書くと $\operatorname{Tr}(\hat P_\gamma A^{\otimes\ell})=\sum_{i_1,\dots,i_\ell}A_{i_2i_1}A_{i_3i_2}\cdots A_{i_1i_\ell}$ で、添字が輪になってつながっているので $\operatorname{Tr}(A^\ell)$ である。

置換は互いに交わらない巡回の積に一意に分かれ、トレースは巡回ごとの積になる。$N=2$ では恒等置換（長さ1の巡回が2つ）と互換（長さ2の巡回が1つ）なので、$\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-2\beta h}=Z_1(2\beta)$ を使って

$$Z_2^\pm(\beta)=\frac12\Bigl[Z_1(\beta)^2\pm Z_1(2\beta)\Bigr]\tag{6.2.26}$$

を得る。第1項は区別できる粒子の分配関数を $2!$ で割ったもの（古典統計で Gibbs が入れた $1/N!$ と同じ因子）で、第2項が交換の効果である。互換の項は「2つの粒子が同じ状態を同時にたどる」寄与を数え、$Z_1(2\beta)$ は温度が半分の1粒子の分配関数になる。

Fock 空間の言葉：占有数の和

Fock 空間では、状態は占有数の組 $\{n_k\}$ で指定され（(6.2.11)）、$\hat H=\sum_k\varepsilon _k\hat a_k^\dagger\hat a_k$（$\varepsilon _k=\hbar\omega(k+\frac12)$）はこの基底で対角なので、トレースは $\sum_kn_k=N$ を満たす組の和である。2粒子では、ボース粒子は準位 $k_1\leq k_2$ の組、フェルミ粒子は $k_1<k_2$ の組を数える。$q=\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega}$ とおくと $\mathrm{e}^{-\beta\varepsilon _k}=q^{k+1/2}$ なので

$$\begin{aligned}Z_2^+&=\sum_{0\leq k_1\leq k_2}q^{k_1+k_2+1}=\frac{q}{(1-q)^2(1+q)},\\ Z_2^-&=\sum_{0\leq k_1<k_2}q^{k_1+k_2+1}=\frac{q^2}{(1-q)^2(1+q)}\end{aligned}$$

である（$k_2=k_1+j$ とおいて $j$ と $k_1$ について等比級数を足す）。一方 (6.2.26) に $Z_1(\beta)=q^{1/2}/(1-q)$、$Z_1(2\beta)=q/(1-q^2)$ を入れると

$$\frac12\Bigl[\frac{q}{(1-q)^2}\pm\frac{q}{(1-q)(1+q)}\Bigr]=\frac{q}{2}\cdot\frac{(1+q)\pm(1-q)}{(1-q)^2(1+q)}$$

で、上の2つの式と一致する。基準では「置換の和」、Fock 空間では「占有数の組の和」と、数え方はまったく違うが、同じ数になった。これは定理 6.2.3 のユニタリ $U$ のもとで $\hat H$ が移り合うこと（定理 6.2.4）の、トレースという1つの数での現れである。

ボースとフェルミの差がちょうど $\hbar\omega$ であること

閉じた形を並べると $Z_2^-=q\,Z_2^+$ である。対数をとって $\beta$ で微分すると、平均エネルギー $\langle E \rangle =-\partial_\beta\ln Z$ について

$$\langle E \rangle _-=\langle E \rangle _++\hbar\omega\tag{6.2.27}$$

がどの温度でも成り立つ。理由は占有数の側から見るとわかる。ボース粒子の組 $(k_1,k_2)$（$k_1\leq k_2$）を $(k_1,k_2+1)$ に移すと、フェルミ粒子の組（$k_1<k_2+1$）とちょうど1対1に対応し、エネルギーは $\hbar\omega$ だけ上がる。等間隔の準位を持つ1次元の調和振動子だけで成り立つ特別な関係で、2個のフェルミ粒子は「片方を1段上に持ち上げた2個のボース粒子」と同じスペクトルを持つ。

高温 $k_{\mathrm B} T\gg\hbar\omega$ では、$x=\beta\hbar\omega$ として $\langle E \rangle _+/\hbar\omega=1+2q/(1-q)-q/(1+q)=2/x-\frac12+\frac{5x}{12}+\cdots$ なので、

$$\langle E \rangle _\pm\approx2 k_{\mathrm B} T\mp\frac{\hbar\omega}2,\qquad \langle E \rangle _{\text{Boltzmann}}\approx2 k_{\mathrm B} T$$

である（Boltzmann は $Z_1^2/2$、つまり交換の項を落としたもの）。2つの自由度がそれぞれ等分配の $k_{\mathrm B} T$ を持つ古典の値に、交換の効果が温度によらない大きさ $\mp\hbar\omega/2$ で残る。$k_{\mathrm B} T$ に比べた相対的な大きさは $\hbar\omega/ k_{\mathrm B} T$ の程度で0に近づく。

この節の Fock 空間の側の計算は、粒子数を決めた（カノニカルな）和である。粒子数を固定しない和にすると占有数がモードごとに独立になり、Bose 分布と Fermi 分布が出る。それは 第6部第5章で扱う。