場の演算子と波動関数の読み出し

量子力学の様々な構成方法　第6部 第2章 §6.2.3　★★ $\hat\psi(x)$ を $N$ 回当てて真空との内積をとると $N$ 粒子の波動関数が出てくる。密度と対密度は Fock 空間の期待値になる

場の演算子

1粒子の状態として位置の固有状態 $| x \rangle$（波動関数 $\delta(\cdot-x)$）を形式的に入れたものを、場の演算子と呼ぶ。

$$\hat\psi(x)=\hat a(\delta_x)=\sum_i\varphi_i(x)\,\hat a_i,\qquad \hat\psi^\dagger(x)=\sum_i\varphi_i^*(x)\,\hat a_i^\dagger\tag{6.2.16}$$

2つ目の等号は $\delta_x=\sum_i\varphi_i^*(x)\varphi_i$（完全性）と $\hat a(\varphi)$ の反線形性から出る。定理 6.2.2 から$\hat\psi(x)\hat\psi^\dagger(y)\mp\hat\psi^\dagger(y)\hat\psi(x)=\langle \delta_x | \delta_y \rangle =\delta(x-y)$ で、ボース粒子では第1章で Schrödinger 場を正準量子化して出した交換関係 $\left[\hat\psi(x),\,\hat\psi^\dagger(y)\right]=\delta(x-y)$（第6部第1章）と同じものになる。第1章では古典の場の Poisson 括弧から、この章では対称化した波動関数の空間から、同じ関係式に着いた。

$\hat\psi(x)$ を $N$ 粒子の状態に当てると、(6.2.9) で $\varphi=\delta_x$ とおいて

$$\bigl(\hat\psi(x)\Psi\bigr)(x_2,\dots,x_N)=\sqrt N\,\Psi(x,x_2,\dots,x_N)\tag{6.2.17}$$

になる。波動関数の1番目の変数に値 $x$ を入れ、係数 $\sqrt N$ を掛けるだけの操作である。

波動関数を読み出す公式

(6.2.17) を $N$ 回繰り返す。$\hat\psi(x_1)$ で1番目の変数に $x_1$ が入り、次の $\hat\psi(x_2)$ は残りの $N-1$ 変数の先頭（もとの2番目）に $x_2$ を入れ、係数は $\sqrt N\sqrt{N-1}\cdots\sqrt1=\sqrt{N!}$ になる。最後に残るのは粒子0個の空間 $\mathbb{C}$ の数なので、

$$\Psi(x_1,\dots,x_N)=\frac1{\sqrt{N!}}\,\langle 0 | \hat\psi(x_N)\cdots\hat\psi(x_2)\hat\psi(x_1) | \Psi \rangle\tag{6.2.18}$$

を得る。左辺は基準の $N$ 粒子の波動関数、右辺は Fock 空間の行列要素である。フェルミ粒子では $\hat\psi$ の順を入れ替えると符号が変わるので、この並べ方（$x_1$ の $\hat\psi$ が一番右）を守る。順を逆にすると $(\pm1)^{N(N-1)/2}$ が掛かる。第1章の命題（粒子1個の部分）で位置の固有状態 $| x \rangle$ に $\hat\psi^\dagger(x)| 0 \rangle$ が対応したのは、この公式の $N=1$ の場合である。

密度と対密度

同種粒子で測れる量は対称な組み合わせだけだった（6.2.1 節）。その代表である密度と対密度は、(6.2.17) から直ちに Fock 空間の期待値になる。

$$\begin{align*}\rho(x)&=\langle \Psi | \hat\psi^\dagger(x)\hat\psi(x) | \Psi \rangle =\lVert \hat\psi(x)\Psi\rVert ^2=N\int\mathrm{d} x_2\cdots\mathrm{d} x_N\,\lvert \Psi(x,x_2,\dots,x_N)\rvert ^2,\tag{6.2.19}\\\rho_2(x,y)&=\langle \Psi | \hat\psi^\dagger(x)\hat\psi^\dagger(y)\hat\psi(y)\hat\psi(x) | \Psi \rangle =N(N-1)\int\mathrm{d} x_3\cdots\mathrm{d} x_N\,\lvert \Psi(x,y,x_3,\dots,x_N)\rvert ^2.\tag{6.2.20}\end{align*}$$

右辺は基準の言葉での「どれか1つの粒子が $x$ にいる確率密度の $N$ 倍」「ある粒子が $x$ に、別のある粒子が $y$ にいる確率密度」で、全体を積分すると$\int\rho=N$、$\iint\rho_2=N(N-1)$（順序のついた粒子の組の数）になる。$\rho_2$ を $y$ で積分すると $(N-1)\rho(x)$ に戻る。