この章のまとめ

(1) 式 (3.6.15) で $\tau=0$ とおくと $G(0)=\frac\hbar{2m\omega}\coth\frac s2$ である。$\coth\frac s2=\frac{\mathrm{e}^s+1}{\mathrm{e}^s-1}=1+\frac2{\mathrm{e}^s-1}=2\bar n+1$ なので $G(0)=\frac\hbar{2m\omega}(2\bar n+1)$ となる。零点の揺らぎ $\frac\hbar{2m\omega}$ に、Bose 分布の占有数に比例する熱の揺らぎが足された形である。

(2) $\lambda=0$ の重み $\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}/\hbar}$ は経路について2次なので、各時刻の $x(\tau)$ は平均0の Gauss 変数（成分 $x_n$ の1次結合）で、分散は $G(0)$ である（$\tau$ によらない）。平均0・分散 $v$ の Gauss 変数では $\langle x^4 \rangle =3v^2$ なので $\langle x(\tau)^4 \rangle _0=3G(0)^2$ を得る。したがって $F=F_0+3\lambda G(0)^2+\mathcal{O}(\lambda^2)$ である。

(3) $\hat x=\sqrt{\hbar/(2m\omega)}(\hat a+\hat a^\dagger)$ で、$(\hat a+\hat a^\dagger)^4$ の対角要素は、生成と消滅を2回ずつ含む6通りの並びの和である。$| n \rangle$ に当てると、$\hat a\hat a\hat a^\dagger\hat a^\dagger\to(n+1)(n+2)$、$\hat a^\dagger\hat a^\dagger\hat a\hat a\to n(n-1)$、残りの4つ（$\hat a\hat a^\dagger\hat a\hat a^\dagger$・$\hat a\hat a^\dagger\hat a^\dagger\hat a$・$\hat a^\dagger\hat a\hat a\hat a^\dagger$・$\hat a^\dagger\hat a\hat a^\dagger\hat a$）は $(n+1)^2$・$n(n+1)$・$n(n+1)$・$n^2$ を与え、合計は $6n^2+6n+3=3(2n^2+2n+1)$ である。熱平衡の重みで平均すると、幾何分布の $\langle n \rangle =\bar n$、$\langle n^2 \rangle =2\bar n^2+\bar n$ から $\langle 2n^2+2n+1 \rangle =4\bar n^2+4\bar n+1=(2\bar n+1)^2$ となり、$\langle x^4 \rangle _0=3\bigl(\frac\hbar{2m\omega}\bigr)^2(2\bar n+1)^2=3G(0)^2$ で (2) と一致する。$\hbar=m=\omega=1$、$s=1$ では $3.512$ である。

(4) $\int\mathrm{d} y\,\mathrm{e}^{-y^2/(2\sigma^2)}(\bar x+y)^4/\sqrt{2\pi\sigma^2}=\bar x^4+6\sigma^2\bar x^2+3\sigma^4$ である（奇数次は消え、$\langle y^2 \rangle =\sigma^2$、$\langle y^4 \rangle =3\sigma^4$）。$\lambda=0$ の $Z_{\mathrm F}$ の重みは $\mathrm{e}^{-\beta m\omega^2\bar x^2/2}$ なので重心は分散 $c$ の Gauss 分布で、$\lambda$ の1次の補正は $\lambda(3c^2+6\sigma^2c+3\sigma^4)=3\lambda(c+\sigma^2)^2$ である。$\hbar=m=\omega=1$、$s=1$ では $c=1$、$\sigma^2=1/12$ で $3(1+1/12)^2=3.521$、厳密な値は $3.512$、古典（$\sigma=0$）は $3$ である。厳密な値は $3(c+f)^2$ の形に書ける。ここで $f=G(0)-c=\frac1{m\beta\omega^2}\bigl[\frac s2\coth\frac s2-1\bigr]$ は調和ポテンシャルの中の本当の揺らぎの分散で、$s=1$ では $f=0.0820<\sigma^2=0.0833$ である。ぼかしは自由粒子の揺らぎを使うので、ポテンシャルが揺らぎを抑える効果を落とし、$\langle x^4 \rangle$ をわずかに大きく見積もる。高温では $f\approx\beta\hbar^2/(12m)=\sigma^2$ で両者が一致する。

(5) $\beta\to\infty$ では $\bar n\to0$ で $G(0)\to\hbar/(2m\omega)$ なので、$F$ の1次の補正は $3\lambda(\hbar/(2m\omega))^2$ に近づく。$\beta\to\infty$ で $F\to E_0$（3.6.6節の例題）なので、これは基底エネルギーのずれである。(3) の $n=0$ の値 $\lambda\langle 0 | \hat x^4 | 0 \rangle =3\lambda(\hbar/(2m\omega))^2$ と一致し、1次の摂動論の基底エネルギーと同じものが経路積分から出た。(4) の近似は $c\to0$ でも $\sigma^2=\beta\hbar^2/(12m)\to\infty$ なので、補正が $3\lambda\sigma^4\to\infty$ となって意味を失う。自由粒子を基準にしたぼかしは低温では使えず、Feynman–Kleinert の改良はこの欠点を直すためのものである。