重心と揺らぎ：古典極限と Feynman のぼかし

量子力学の様々な構成方法　第3部 第6章 §3.6.4　★★★ 経路を重心と揺らぎに分けると、揺らぎの分散 $\beta\hbar^2/(12m)$ でぼかしたポテンシャルの古典の $Z$ が厳密な下限になり、高温で古典の統計力学と $\hbar^2$ の補正が出る

揺らぎの大きさ

一般のポテンシャルで経路を $x(\tau)=\bar x+\xi(\tau)$ と重心 $\bar x$（Fourier の0番目の成分）と揺らぎ $\xi$（$n\ne0$ の成分、$\int_0^{\beta\hbar}\xi\,\mathrm{d}\tau=0$）に分ける。前節の規格化を使うと、分配関数は厳密に

$$Z=\int\frac{\mathrm{d}\bar x}{\lambda_T}\;\Bigl\langle\exp\Bigl(-\frac1\hbar\int_0^{\beta\hbar}V(\bar x+\xi(\tau))\,\mathrm{d}\tau\Bigr)\Bigr\rangle_0\tag{3.6.16}$$

と書ける。$\langle \cdot \rangle _0$ は自由粒子の揺らぎの Gauss 測度（規格化して全体を1にしたもの）についての平均である。この測度では各成分が独立で $\langle \lvert x_n\rvert ^2 \rangle _0=1/(m\beta\omega_n^2)$ なので、同じ時刻の揺らぎの分散は

$$\langle \xi(\tau)^2 \rangle _0=\sum_{n\ne0}\frac1{m\beta\omega_n^2}=\frac2{m\beta}\Bigl(\frac{\beta\hbar}{2\pi}\Bigr)^2\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}=\frac2{m\beta}\cdot\frac{\beta^2\hbar^2}{4\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}6=\frac{\beta\hbar^2}{12m}\tag{3.6.17}$$

である。第5部第1章が借りた分散 $\hbar^2\beta/(12m)$ はこれである。$\lambda_T^2=2\pi\hbar^2\beta/m$ を使うと $\langle \xi^2 \rangle _0=\lambda_T^2/(24\pi)$ で、揺らぎの広がりは熱的波長の約 $0.115$ 倍である。異なる時刻の相関は $\langle \xi(\tau)\xi(\tau') \rangle _0=\frac{\beta\hbar^2}m\bigl[\frac1{12}-\frac{u(1-u)}2\bigr]$（$u=\lvert \tau-\tau'\rvert /(\beta\hbar)$）で、$\tau$ について平均すると0になる。揺らぎから重心を抜いてあるからである。

Feynman のぼかしたポテンシャル

式 (3.6.16) の平均の中は指数関数なので、Jensen の不等式 $\langle \mathrm{e}^{-X} \rangle \ge\mathrm{e}^{-\langle X \rangle }$ を使うことができる。$X=\frac1\hbar\int V(\bar x+\xi(\tau))\mathrm{d}\tau$ の平均は、各時刻の $\xi(\tau)$ が同じ分散 (3.6.17) の Gauss 変数なので

$$\langle X \rangle _0=\beta\,V_\sigma(\bar x),\qquad V_\sigma(\bar x)\coloneqq\int\mathrm{d} y\;\frac{\mathrm{e}^{-y^2/(2\sigma^2)}}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\,V(\bar x+y),\qquad \sigma^2=\frac{\beta\hbar^2}{12m}\tag{3.6.18}$$

である。$V_\sigma$ は $V$ を幅 $\sigma$ の Gauss 関数でぼかしたもので、R. P. Feynman が導いた（教科書 Feynman–Hibbs (1965)『Quantum Mechanics and Path Integrals』McGraw-Hill に載っている）。

証明

式 (3.6.16) の各 $\bar x$ で、確率測度 $\langle \cdot \rangle _0$ について凸関数 $\mathrm{e}^{-X}$ に Jensen の不等式を使うと $\langle \mathrm{e}^{-X} \rangle _0\ge\mathrm{e}^{-\langle X \rangle _0}=\mathrm{e}^{-\beta V_\sigma(\bar x)}$ である。$\bar x$ で積分すれば式 (3.6.19) になる。$\langle X \rangle _0$ で積分の順序を入れ替えるところは、$V$ が下に有界なので Tonelli の定理で正当化される。

この下限は、Feynman–Kleinert (1986), Phys. Rev. A 34, 5080 で、揺らぎの基準を自由粒子から重心ごとに選んだ調和振動子に替えて改良された。この節では自由粒子を基準にした最も簡単な形だけを扱う。

$V_\sigma$ を $\sigma$ で展開すると

$$V_\sigma(\bar x)=V(\bar x)+\frac{\sigma^2}2V''(\bar x)+\frac{\sigma^4}8V''''(\bar x)+\cdots=V(\bar x)+\frac{\hbar^2\beta}{24m}V''(\bar x)+\mathcal{O}(\hbar^4)\tag{3.6.20}$$

で、$\hbar^2$ の項は第5部第1章の $V_{\mathrm{eff}}$ そのものである。$Z_{\mathrm F}$ が $\hbar^2$ の次数まで正しい理由も式 (3.6.16) から分かる。$\ln\langle \mathrm{e}^{-X} \rangle _0=-\langle X \rangle _0+\frac12\bigl(\langle X^2 \rangle _0-\langle X \rangle _0^2\bigr)-\cdots$ の2番目の項（分散）の最も低い次数は、$V$ を1次まで展開した $X\approx\beta V(\bar x)+\frac1\hbar V'(\bar x)\int\xi\,\mathrm{d}\tau$ から出るはずだが、揺らぎは重心を抜いてあるので $\int\xi\,\mathrm{d}\tau=0$ で、この項は恒等的に消える。分散が0でなくなるのは $V''$ の2乗の項からで、その大きさは $\beta^2V''^2\sigma^4\propto\hbar^4$ である。

$\sigma\to0$（高温、あるいは $\hbar\to0$）では $V_\sigma\to V$ で、$Z_{\mathrm F}$ は古典の分配関数

$$Z_{\mathrm{cl}}=\int\frac{\mathrm{d}\bar x}{\lambda_T}\mathrm{e}^{-\beta V(\bar x)}=\int\frac{\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p}{2\pi\hbar}\mathrm{e}^{-\beta H(x,p)}\tag{3.6.21}$$

に近づく（2つ目の等号は $\int\mathrm{d} p\,\mathrm{e}^{-\beta p^2/(2m)}/(2\pi\hbar)=1/\lambda_T$）。第3部第4章（第3部第4章）の言葉で言えば、虚時間の経路積分の鞍点は $\beta\hbar$ が短いとき動かない経路（定数 $\bar x$）で、そのまわりの揺らぎの Gauss 積分が運動量の積分の役をする。古典の統計力学の相空間の測度 $\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p/(2\pi\hbar)$ が、量子の経路積分の重心の積分と揺らぎの規格化から出てきた。

二重井戸 $V=(x^2-1)^2$（$\hbar=m=1$）で3つの $Z$ を比べると次のようになる（厳密な $Z$ は位置の格子で $\hat H$ を対角化した値）。

どの温度でも $Z_{\mathrm F}\le Z\le Z_{\mathrm{cl}}$ の順に並ぶ。$Z\le Z_{\mathrm{cl}}$ のほうは一般の定理でなく、この $V$ で成り立っている順序である。低温で $Z_{\mathrm F}$ が厳密な値から離れるのは、自由粒子の揺らぎの分散 $\sigma^2=\beta\hbar^2/(12m)$ が $\beta$ に比例して際限なく大きくなるのに対し、井戸に閉じ込められた本当の揺らぎは有限に留まるからである。