時間分割：分配関数は閉じた経路の和

量子力学の様々な構成方法　第3部 第6章 §3.6.2　★★★ Trotter の積公式を $\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ に当てると、$Z$ は重み $\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}/\hbar}$ をつけた周期 $\beta\hbar$ の閉じた経路の和になり、重みが正なので Wiener 測度の期待値として定義できる

Trotter の積公式は虚時間の方が素直

第3部第2章では、実時間の $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\hat T+\hat V)t/\hbar}$ を $(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat T\epsilon/\hbar}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat V\epsilon/\hbar})^N$ で近似する Trotter の積公式を使った。H. F. Trotter の元の論文（Trotter (1959), Proc. Amer. Math. Soc. 10, 545）は、ユニタリ群に限らず縮小半群（ノルムが1以下の半群）の積について

$$\mathrm{e}^{-\beta(\hat T+\hat V)}=\lim_{P\to\infty}\bigl(\mathrm{e}^{-\beta\hat T/P}\,\mathrm{e}^{-\beta\hat V/P}\bigr)^P\qquad(\text{強収束})\tag{3.6.4}$$

を示したもので、$\hat T,\hat V$ と $\hat T+\hat V$ の閉包がそれぞれ縮小半群を生成することが前提である。$\hat T=\hat p^2/(2m)\ge0$ と $\hat V\ge0$（定数を足して下に有界な $V$ を非負にしておく）なら $\mathrm{e}^{-\beta\hat T/P}$ と $\mathrm{e}^{-\beta\hat V/P}$ はノルム1以下の縮小で、虚時間はこの元の形がそのまま当たる場面である。実時間の場合はユニタリ（ノルムがちょうど1）で、こちらも同じ定理の特別な場合として扱える。(3.6.4) の右辺の因子を $P$ 個並べ、各因子の間に位置の完全系 $\int\mathrm{d} x_k| x_k \rangle \langle x_k |$ を挿むと、$\mathrm{e}^{-\beta\hat V/P}$ は位置表示で掛け算、$\mathrm{e}^{-\beta\hat T/P}$ は熱核 (3.6.3) の $\beta$ を $\beta/P$ にしたものになる。

トレースが端をつなぐ

分配関数はトレース $Z=\int\mathrm{d} x_0\,\langle x_0 | \mathrm{e}^{-\beta\hat H} | x_0 \rangle$ なので、最初と最後の位置が同じ $x_0$ になる。$P$ 個に分けた虚時間の刻みを $\epsilon=\beta\hbar/P$ とし、$x_P\coloneqq x_0$ と書くと

$$Z_P=\Bigl(\frac{m}{2\pi\hbar\epsilon}\Bigr)^{P/2}\int\mathrm{d} x_0\cdots\mathrm{d} x_{P-1}\;\exp\Bigl\{-\frac1\hbar\sum_{k=0}^{P-1}\Bigl[\frac{m(x_{k+1}-x_k)^2}{2\epsilon}+\epsilon V(x_k)\Bigr]\Bigr\},\qquad Z=\lim_{P\to\infty}Z_P\tag{3.6.5}$$

となる（$m/(2\pi\hbar\epsilon)=mP/(2\pi\hbar^2\beta)$ は熱核の前因子の2乗）。指数の和は、折れ線の経路についての Euclid 作用

$$S_{\mathrm E}[x]=\int_0^{\beta\hbar}\Bigl[\frac m2\Bigl(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} \tau}\Bigr)^2+V(x(\tau))\Bigr]\mathrm{d}\tau\tag{3.6.6}$$

を区間ごとに評価したもので、$P\to\infty$ の極限を

$$Z=\oint\mathcal Dx\;\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}[x]/\hbar},\qquad x(0)=x(\beta\hbar)\tag{3.6.7}$$

と書く。$\oint$ は「周期 $\beta\hbar$ の閉じた経路について積分する」ことの印である。

Euclid 作用は実時間の作用 $S=\int(\frac m2\dot x^2-V)\mathrm{d} t$ から $t=-\mathrm{i}\tau$ で出てくる。$\mathrm{d} t=-\mathrm{i}\mathrm{d}\tau$、$\mathrm{d} x/\mathrm{d} t=\mathrm{i}\,\mathrm{d} x/\mathrm{d}\tau$ を入れると

$$\mathrm{i} S=\mathrm{i}\int\Bigl[-\frac m2\Bigl(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} \tau}\Bigr)^2-V\Bigr](-\mathrm{i}\,\mathrm{d}\tau)=-\int\Bigl[\frac m2\Bigl(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} \tau}\Bigr)^2+V\Bigr]\mathrm{d}\tau=-S_{\mathrm E}\tag{3.6.8}$$

で、振幅の位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ が実の重み $\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}/\hbar}$ に変わる。運動エネルギーとポテンシャルの符号がそろって「両方とも足される」形になるのが Euclid 作用の特徴で、速く動く経路（運動項が大きい）と、ポテンシャルの高い所に長くいる経路（ポテンシャル項が大きい）は、どちらも重みが小さくなる。

重みが正であることの意味：Feynman–Kac の公式

実時間の経路積分は振動する位相の和で、第3部第5章が述べたとおり経路の上の測度として定義することができない。虚時間では1区間の核が正の Gauss 関数 (3.6.3) なので、時間分割の積は「各刻みで分散 $\hbar\epsilon/m$ の Gauss の跳びをする」確率過程の有限次元分布になり、$P\to\infty$ の極限は Brown 運動の経路の上の確率測度（Wiener 測度）として存在する。この確率過程の分散は $\langle (\mathrm{d} x)^2 \rangle =(\hbar/m)\mathrm{d}\tau=2D\,\mathrm{d}\tau$（$D=\hbar/(2m)$）で、式 (3.6.2) の拡散係数と一致する。運動項 $\mathrm{e}^{-\frac1\hbar\int\frac m2\dot x^2\mathrm{d}\tau}$ はこの測度に吸収され、残るポテンシャルの項が汎関数として期待値の中に入る。

$$\langle x | \mathrm{e}^{-\beta\hat H} | x' \rangle =\rho_0(x,x';\beta)\;\mathbb E_{x'\to x}\Bigl[\exp\Bigl(-\frac1\hbar\int_0^{\beta\hbar}V(X(\tau))\,\mathrm{d}\tau\Bigr)\Bigr]\tag{3.6.9}$$

ここで $\mathbb E_{x'\to x}$ は、$\tau=0$ で $x'$ を出て $\tau=\beta\hbar$ で $x$ に戻る Brown 運動（Brown 橋、拡散係数 $D=\hbar/(2m)$）についての期待値である。これが Feynman–Kac の公式で、M. Kac が Wiener 汎関数の分布の問題として示した（Kac (1949), Trans. Amer. Math. Soc. 65, 1）。$V$ が下に有界なら被積分関数は有界で、式 (3.6.9) の右辺は数学的に厳密に定義された量である。確率過程からの見方は第7部第5・6章（第7部第5章・第7部第6章）で Nelson の確率過程と並べる。